Кіріспе
Комплекстік талдаудағы теорема
Комплекстік талдаудағы Лиувилл теоремасы
Комплекстік талдауда, Джозеф Лиувиллдің атымен аталған Лиувилл теоремасы (теореманы алғаш рет Коши 1844 жылы дәлелдегенімен), әр шектелген толық функция тұрақты болуы керек екенін айтады. Яғни, кез келген оң сан үшін барлық z-ға қатысты |f(z)| < M теңсіздігі орындалатын әрбір голоморфтық функция тұрақты болады. Басқаша айтқанда, тұрақты емес голоморфтық функциялардың мәндер жиыны шексіз. Теорема Пикардтың кішкентай теоремасымен одан да жақсартылған, ол екі немесе одан көп комплекс санды өткізіп жібермейтін әрбір толық функция тұрақты болуы керек дейді.
Liouville's theorem in complex analysis
In complex analysis, Liouville's theorem, named after Joseph Liouville (although the theorem was first proven by Cauchy in 1844), states that every bounded entire function must be constant. That is, every holomorphic function for which there exists a positive number such that for all is constant. Equivalently, non constant holomorphic functions on have unbounded images. The theorem is considerably improved by Picard's little theorem, which says that every entire function whose image omits two or more complex numbers must be constant.
Дәлел
Бұл маңызды теореманың бірнеше дәлелі бар. Стандартты аналитикалық дәлелдеме голоморфты функциялардың аналитикалық екенін пайдаланады. Тағы бір дәлелдеме гармоникалық функциялардың орташа мән қасиетін қолданады. Дәлелдеме гармоникалық функция тек жоғарыдан немесе төменнен шектелген жағдайда да қолданылуы мүмкін. Гармоникалық функция#Лиувилл теоремасына қараңыз.
Алгебраның негізгі теоремасы
Лиувилл теоремасын қолдана отырып, алгебраның негізгі теоремасын қысқаша дәлелдеуге болады.
Бірде-бір бүтін функция басқа бүтін функцияға үстемдік етпейді
Теореманың салдары "шын мәнінде әртүрлі" бүтін функциялар бір-бірін басып өте алмайды, яғни егер және бүтін болса, және барлық жерде болса, онда кейбір комплекс сан үшін . үшін теорема тривиалды болып табылады, сондықтан біз функцияны қарастырайық. функциясын бүтін функцияға кеңейту жеткілікті, онда нәтиже Лиувилл теоремасы бойынша шығады. функцияның голоморфиясы анық, бірақ нүктелерінде емес. Бірақ функция шектелген және оның барлық нөлдері оқшауланғандықтан, кез келген ерекшеліктер жойыла алады. Осылайша, функция Лиувилл теоремасы бойынша тұрақты болатын бүтін шектелген функцияға кеңейтілуі мүмкін.
Егер f скалярдан кіші немесе оған тең болса, онда ол сызықтық
Егер функция бүтін болсын және , үшін Коши интеграл формуласын қолдануға болады; онда
, мұндағы – қалған интегралдың мәні. Бұл функцияның шектелген және бүтін екенін көрсетеді, сондықтан Лиувилл теоремасы бойынша ол тұрақты болуы керек. Интегралдаудан кейін функция аффиндік екені көрінеді, ал бастапқы теңсіздікке қайта оралсақ, тұрақты мүше нөлге тең болады.
Тұрақты емес эллипстік функцияларды күрделі жазықтықта анықтауға болмайды
Теореманы тұрақты емес эллиптік функцияның доменін анықтау үшін де қолдануға болады. Егер домен тұрақты болса, онда егер және екі период болса және нақты сан болмаса, төбелері 0, , , және болатын параллелограмды қарастырыңыз. Онда -ның бейнесі -қа тең болады. - үздісіз және - компакт болғандықтан, - да компакт болады, демек, ол шектеулі. Осылайша, - тұрақты. Тұрақты емес эллиптік функцияның домені тұрақты бола алмайтынын Лиувилл 1847 жылы эллиптік функциялар теориясын қолдана отырып дәлелдеді. Шындығында, Лиувилл теоремасын дәлелдеген Коши болды.
Тығыз Риман бетінде
Риманның тығыз бетіндегі кез келген голоморфтық функция міндетті түрде тұрақты болады. Риманның тығыз бетінде голоморфтық функция бар болсын. Тығыздық қасиетіне сәйкес, функцияның максималды мәніне жететін нүкте табылады. Осы нүктенің маңындағы аймақты бірлік дискіге сәйкес келтіре аламыз, сонда функция бірлік дискіде голоморфты болады және оның максималды мәні осы нүктеде болады. Сондықтан, максималды модуль принципі бойынша, функция тұрақты болады.