Введение

Теорема в комплексном анализе
Теорема Лиувиля в комплексном анализе
В комплексном анализе теорема Лиувиля, названная в честь Жозефа Лиувиля (хотя теорема была впервые доказана Коши в 1844 году), утверждает, что любая ограниченная целая функция должна быть постоянной. То есть, любая голоморфная функция, для которой существует положительное число M такое, что |f(z)| ≤ M для всех z, является постоянной. Эквивалентно, неголоморфные функции на комплексной плоскости имеют неограниченные образы. Теорема значительно усиливается малой теоремой Пикара, которая утверждает, что любая целая функция, образ которой пропускает два или более комплексных чисел, является постоянной.

Доказательство

Эта важная теорема имеет несколько доказательств. Стандартное аналитическое доказательство использует тот факт, что голоморфные функции аналитичны. Другое доказательство опирается на свойство среднего значения гармонических функций. Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция ограничена лишь сверху или снизу. См. Гармоническая функция#Теорема Лиувиля.

Основная теорема алгебры

Есть краткое доказательство фундаментальной теоремы алгебры, основанное на теореме Лиувиля.

Ни одна функция не доминирует над другой функцией.

Следовательно, "действительно различные" целые функции не могут доминировать друг над другом, то есть если f и g – целые функции и f(z) ≥ g(z) везде, то f(z) = g(z) для некоторого комплексного числа z. Заметим, что для f(z) = g(z) теорема тривиальна, поэтому предположим, что f(z) > g(z). Рассмотрим функцию h(z) = f(z) - g(z). Достаточно доказать, что h(z) может быть продолжена на всю комплексную плоскость как целая функция, в этом случае результат следует из теоремы Лиувиля. Голоморфность h(z) очевидна, за исключением точек, где g(z) не голоморфна. Но поскольку h(z) ограничена и все нули g(z) изолированы, любые сингулярности должны быть устранимыми. Таким образом, h(z) можно продолжить на всю ограниченную целую функцию, которая, по теореме Лиувиля, является константой.

Если f меньше или равно скаляру, умноженному на его вход, то это линейное

Предположим, что функция f — целая и , для всех z. Мы можем применить формулу интеграла Коши; тогда

где R — значение оставшегося интеграла. Это показывает, что f ограничена и целая, следовательно, по теореме Лиувиля, она должна быть постоянной. Интегрирование затем показывает, что f аффинная, и, обращаясь к исходному неравенству, получаем, что постоянный член равен нулю.

Непостоянные эллиптические функции не могут быть определены на сложной плоскости

Теорема также может быть использована для вывода, что область неконстантной эллиптической функции не может быть связной. Предположим, что это так. Тогда, если и – два периода этой функции, такие что не является вещественным, рассмотрим параллелограмм с вершинами 0, , , и . Тогда образ этого параллелограмма равен всей области. Поскольку непрерывна и область компактна, образ также компактен и, следовательно, ограничен. Таким образом, функция константна. Тот факт, что область неконстантной эллиптической функции не может быть связной, был фактически доказан Лиувиллем в 1847 году с использованием теории эллиптических функций. На самом деле, теорему Лиувиля доказал Коши.

На компактных поверхностях Римана

Любая голоморфная функция на компактной поверхности Римана обязательно постоянна. Пусть f голоморфна на компактной поверхности Римана. По компактности существует точка z₀, в которой f достигает своего максимума. Тогда можно найти окрестность точки z₀, которая отображается на единичный диск D в комплексной плоскости, так что f является голоморфной на D и имеет максимум в точке, соответствующей z₀. Следовательно, по принципу максимального модуля, f постоянна.