Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда, дифференциалданатын көптүкшедегі бір форма – котангенттік түйіндің тегіс қимасы. Балама ретінде, көптүкшедегі бір форма – бұл тангенстік бундельдің толық кеңістігінен тангенстік кеңістікке тегіс бейнелеу, оның әр талшыққа шектелуі сызықтық функционал болып табылады. Символикалық түрде:
In differential geometry, a one form on a differentiable manifold is a smooth section of the cotangent bundle. Equivalently, a one form on a manifold is a smooth mapping of the total space of the tangent bundle of to whose restriction to each fibre is a linear functional on the tangent space. Symbolically,
мұнда ω сызықтық. Көбінесе бір формалар жергілікті түрде, әсіресе жергілікті координаттарда сипатталады. Жергілікті координаттар жүйесінде бір форма – координаттардың дифференциалдарының сызықтық комбинациясы:
мұнда fᵢ – тегіс функциялар. Осы көзқарас бойынша, бір форманың бір координаттық жүйеден екіншісіне өту кезінде коварианттық түрлендіру заңы болады. Осылайша, бір форма – 1-ретті ковариантты тензорлық өріс.
Мысалдар
Ең қарапайым тривиальды емес дифференциалдық бір форма – "бұрыш өзгеруі" формасы. Бұл бұрыш "функциясының" туындысы ретінде анықталады (бұл тек қосымша тұрақтыға дейін ғана анықталады), және оны atan2 функциясы арқылы нақты анықтауға болады. Туындыны есептегенде, жалпы туынды үшін келесі формула шығады:
While the angle "function" cannot be continuously defined – the function atan2 is discontinuous along the negative axis – which reflects the fact that angle cannot be continuously defined, this derivative is continuously defined except at the origin, reflecting the fact that infinitesimal (and indeed local) changes in angle can be defined everywhere except the origin. Integrating this derivative along a path gives the total change in angle over the path, and integrating over a closed loop gives the winding number times
In the language of differential geometry, this derivative is a one form, and it is closed (its derivative is zero) but not exact (it is not the derivative of a 0 form, that is, a function), and in fact it generates the first de Rham cohomology of the punctured plane. This is the most basic example of such a form, and it is fundamental in differential geometry.
Бұрыш "функциясы" үздіксіз анықталмайды – atan2 функциясы теріс ось бойында үздіксіздікке ие, бұл бұрыштың үздіксіз анықталмауының көрінісі. Алайда, бұл туынды нөлдік нүктеден басқа барлық жерде үздіксіз анықталады, бұл бұрыштағы шексіз кішкентай (және тіпті жергілікті) өзгерістерді нөлдік нүктеден басқа барлық жерде анықтауға болатынын көрсетеді. Бұл туындыны жол бойымен интегралдау жолдағы бұрыштың жалпы өзгеруін береді, ал жабық контур бойынша интегралдау оралу саныны береді. Дифференциалдық геометрия тілінде, бұл туынды – бір форма, ол жабық (оның туындысы нөлге тең), бірақ дәл емес (ол 0 форманың, яғни функцияның туындысы емес), және шындығында, ол тесілген жазықтықтың бірінші де Рам когомологиясын тудырады. Бұл мұндай форманың ең қарапайым мысалы және дифференциалдық геометриядағы негізгі ұғым болып табылады.
While the angle "function" cannot be continuously defined – the function atan2 is discontinuous along the negative axis – which reflects the fact that angle cannot be continuously defined, this derivative is continuously defined except at the origin, reflecting the fact that infinitesimal (and indeed local) changes in angle can be defined everywhere except the origin. Integrating this derivative along a path gives the total change in angle over the path, and integrating over a closed loop gives the winding number times
In the language of differential geometry, this derivative is a one form, and it is closed (its derivative is zero) but not exact (it is not the derivative of a 0 form, that is, a function), and in fact it generates the first de Rham cohomology of the punctured plane. This is the most basic example of such a form, and it is fundamental in differential geometry.