Введение
Дифференциальная форма первой степени или сечение котангентного расслоения.
В дифференциальной геометрии одна форма на дифференцируемом многообразии является гладким сечением котангентного расслоения. Эквивалентно, одна форма на многообразии — это гладкое отображение полного пространства тангентного расслоения в ℝ, ограничение которого на каждое волокно является линейным функционалом на тангентном пространстве. Символически,
In differential geometry, a one form on a differentiable manifold is a smooth section of the cotangent bundle. Equivalently, a one form on a manifold is a smooth mapping of the total space of the tangent bundle of to whose restriction to each fibre is a linear functional on the tangent space. Symbolically,
где φ линейна. Часто одна форма описывается локально, особенно в локальных координатах. В локальной системе координат одна форма — это линейная комбинация дифференциалов координат:
где fᵢ — гладкие функции. С этой точки зрения, одна форма имеет ковариантный закон преобразования при переходе от одной системы координат к другой. Таким образом, одна форма — это ковариантное тензорное поле первого порядка.
Примеры
Наиболее основная нетривиальная дифференциальная форма – это форма "изменения угла". Она определяется как производная "функции" угла (которая определена только с точностью до аддитивной константы), которую можно явно определить через функцию atan2. Вычисление производной дает следующую формулу для полной производной:
Хотя "функция" угла не может быть определена непрерывно – функция atan2 имеет разрыв вдоль отрицательной оси – что отражает тот факт, что угол не может быть определен непрерывно, эта производная определена непрерывно везде, кроме начала координат, что отражает тот факт, что бесконечно малые (и, фактически, локальные) изменения угла могут быть определены всюду, кроме начала координат. Интегрирование этой производной вдоль пути дает полное изменение угла на этом пути, а интегрирование по замкнутому контуру дает число витков, умноженное на 2π.
На языке дифференциальной геометрии эта производная является одномерной формой, она замкнута (ее производная равна нулю), но не точна (она не является производной 0-формы, то есть функции), и, более того, она порождает первую когомологию де Рама проколотой плоскости. Это самый простой пример такой формы, и она фундаментальна в дифференциальной геометрии.