Леопольд Кронекер: өмір және математикалық еңбектері

Кіріспе

Неміс математигі (1823–1891)

Леопольд Кронекер (; 7 желтоқсан 1823 – 29 желтоқсан 1891) – неміс математигі, сандар теориясы, алгебра және логика салаларында жұмыс істеген. Ол Георг Кантордың жиын теориясы жөніндегі еңбектерін сынап, "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" ("Құдай бүтін сандарды жасады, ал қалғаны – адамның туындысы") деген сөздерімен атақты. Кронекер Эрнст Кумердің шәкірті және өмір бойындағы досы болды.

Өмірбаян

Леопольд Кронекер 1823 жылғы 7 желтоқсанда Пруссияның Лигница қаласында (қазіргі Польшаның Легница) бай еврей отбасында дүниеге келді. Оның ата-анасы Изидор мен Йоханна (құрметті Праусницеп) балаларының біліміне қамқорлық жасап, оларды үйде жеке оқытумен қамтамасыз етті. Леопольдтың кіші інісі Хьюго Кронекер де ғылыми жолға түсіп, кейін көрнекті физиолог болды. Содан кейін Кронекер Лигница гимназиясына барды, онда ол ғылым, тарих және философия сияқты көптеген тақырыптарға қызығушылық танытты, сонымен қатар гимнастика мен жүзумен шұғылданды. Гимназияда оған Эрнст Кумер сабақ берді, ол баланың математикаға деген қызығушылығын байқап, оны ынталандырды. 1841 жылы Кронекер Берлин университетінің студенті болды, онда оның қызығушылығы бірден математикаға аумады, бірақ астрономия мен философияны қоса алғанда, бірнеше пәнге тарады. Ол 1843 жылдың жазында Бонн университетінде астрономияны оқыды және 1843–1844 жылдары Бреслау университетінде бұрынғы мұғалімі Кумердің ізімен жүрді. Берлинде Кронекер Питер Густав Лежун Дирихлетен математика оқыды және 1845 жылы Дирихлет басшылығымен жазылған алгебралық сандар теориясы бойынша диссертациясын қорғады. Диплом алғаннан кейін Кронекер ғылыми зерттеулерге деген қызығушылығын академиялық мансап жолына баруға итермелеген жоқ. Ол туған қаласына оралып, анасының ағасы, бұрынғы банкир құрған үлкен шаруашылықты басқаруға кірісті. 1848 жылы ол өзінің туысы Фанни Праусництерге үйленді, олардың алты баласы болды. Бірнеше жыл бойы Кронекер бизнеске көңіл бөлді, математиканы хобби ретінде оқып, Кумермен хат алысып жүрсе де, математикалық нәтижелер жарияламады. 1853 жылы ол Эварист Галуаның теңдеулер теориясы бойынша жұмысын кеңейтіп, теңдеулердің алгебралық шешілуі туралы еңбек жазды. Өзінің іскерлік қызметіне байланысты Кронекер қаржы жағынан жайлы болды, сондықтан ол 1855 жылы Берлинде жеке ғалым ретінде математиканы жалғастыру үшін оралды. Дирихлет, оның әйелі Ребекка бай Мендельсон отбасынан шыққан, Кронекерді Берлин элитасына таныстырды. Ол университетке жаңадан келген Карл Вейерштрасс пен Дирихлеттің математика кафедрасын жаңадан алған бұрынғы мұғалімі Кумердің жақын досы болды. Кронекер Курт Хенсель, Адольф Кнезер, Матиас Лерх және Франц Мертенстің жетекшісі болды. Оның математикаға философиялық көзқарасы оны бірнеше жылдар бойы бірнеше математиктермен қайшылыққа ұшыратты, әсіресе 1888 жылы университеттен кетуді шешкен Вейерштрасспен қарым-қатынасын шиеленістірді. 1850 жылы "Бесінші дәрежелі жалпы теңдеудің шешімі туралы" атты еңбегінде Кронекер топтық теорияны қолдану арқылы квинтикалық теңдеуді шешті (бірақ оның шешімі радикалдар арқылы емес: бұл Әбел-Руффини теоремасымен мүмкін емес екені дәлелденген). Алгебралық сандар теориясында Кронекер Дедекиндтің идеалдар теориясына балама ретінде бөлгіштер теориясын енгізді, ол философиялық себептермен оны қабылдауға болмайды деп тапты. Дедекиндтің тәсілін жалпы қабылдау Кронекердің теориясын ұзақ уақыт бойы елемеуге әкелгенімен, оның бөлгіштері пайдалы деп танылды және 20-шы ғасырда бірнеше математиктер оны қайта жаңғыртты. Кронекер сонымен қатар үздіксіздік түсінігіне үлес қосты, нақты сандардағы иррационал сандардың түрін қайта құрды. Анализде Кронекер өзінің әріптесі Карл Вейерштрастың еш жерде дифференциалданбайтын үздіксіз функциясын қабылдамады. Кронекердің атымен аталған формулалар: Кронекер лимиті, Кронекер конгруэнциясы, Кронекер дельтасы, Кронекер таразысы, Кронекер символы, Кронекер көбейтіндісі, Кронекердің көптік сандарды факторлау әдісі, Кронекер алмастыруы, Кронекердің сандар теориясындағы теоремасы, Кронекердің леммасы және Айзенштейн-Кронекер сандары.

Leopold Kronecker was born on 7 December 1823 in Liegnitz, Prussia (now Legnica, Poland) in a wealthy Jewish family. His parents, Isidor and Johanna (née Prausnitzep), took care of their children's education and provided them with private tutoring at home—Leopold's younger brother Hugo Kronecker would also follow a scientific path, later becoming a notable physiologist. Kronecker then went to the Liegnitz Gymnasium where he was interested in a wide range of topics including science, history and philosophy, while also practicing gymnastics and swimming. At the gymnasium he was taught by Ernst Kummer, who noticed and encouraged the boy's interest in mathematics. In 1841 Kronecker became a student at the University of Berlin where his interest did not immediately focus on mathematics, but rather spread over several subjects including astronomy and philosophy. He spent the summer of 1843 at the University of Bonn studying astronomy and 1843–44 at the University of Breslau following his former teacher Kummer. Back in Berlin, Kronecker studied mathematics with Peter Gustav Lejeune Dirichlet and in 1845 defended his dissertation in algebraic number theory written under Dirichlet's supervision. After obtaining his degree, Kronecker did not follow his interest in research on an academic career path. He went back to his hometown to manage a large farming estate built up by his mother's uncle, a former banker. In 1848 he married his cousin Fanny Prausnitzer, and the couple had six children. For several years Kronecker focused on business, and although he continued to study mathematics as a hobby and corresponded with Kummer, he published no mathematical results. In 1853 he wrote a memoir on the algebraic solvability of equations extending the work of Évariste Galois on the theory of equations. Due to his business activity, Kronecker was financially comfortable, and thus he could return to Berlin in 1855 to pursue mathematics as a private scholar. Dirichlet, whose wife Rebecka came from the wealthy Mendelssohn family, had introduced Kronecker to the Berlin elite. He became a close friend of Karl Weierstrass, who had recently joined the university, and his former teacher Kummer who had just taken over Dirichlet's mathematics chair. Kronecker was the supervisor of Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch, and Franz Mertens, amongst others. His philosophical view of mathematics put him in conflict with several mathematicians over the years, notably straining his relationship with Weierstrass, who almost decided to leave the university in 1888. In an 1850 paper, On the Solution of the General Equation of the Fifth Degree, Kronecker solved the quintic equation by applying group theory (though his solution was not in terms of radicals: that was already proven impossible by the Abel–Ruffini theorem). In algebraic number theory Kronecker introduced the theory of divisors as an alternative to Dedekind's theory of ideals, which he did not find acceptable for philosophical reasons. Although the general adoption of Dedekind's approach led Kronecker's theory to be ignored for a long time, his divisors were found useful and were revived by several mathematicians in the 20th century. Kronecker also contributed to the concept of continuity, reconstructing the form of irrational numbers in real numbers. In analysis, Kronecker rejected the formulation of a continuous, nowhere differentiable function by his colleague, Karl Weierstrass. Also named for Kronecker are the Kronecker limit formula, Kronecker's congruence, Kronecker delta, Kronecker comb, Kronecker symbol, Kronecker product, Kronecker's method for factorizing polynomials, Kronecker substitution, Kronecker's theorem in number theory, Kronecker's lemma, and Eisenstein–Kronecker numbers.

Математика философиясы

Кронэкердің шектілік көзқарасы оны математика негіздеріндегі интуиционизмнің алға басушысы етті.