Леопольд Кронекер: Жизнь и математические взгляды

Введение

Немецкий математик (1823–1891)

Леопольд Кронекер (7 декабря 1823 – 29 декабря 1891) – немецкий математик, работавший в области теории чисел, алгебры и логики. Он критиковал работы Георга Кантора по теории множеств и, как сообщается, говорил: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" ("Бог создал целые числа, всё остальное – дело рук человеческих"). Кронекер был учеником и другом на всю жизнь Эрнста Куммера.

Биография

Леопольд Кронекер родился 7 декабря 1823 года в Лигнице, Пруссия (ныне Легница, Польша) в богатой еврейской семье. Его родители, Исидор и Йоханна (урождённая Праусницеп), заботились об образовании своих детей и предоставляли им частное обучение дома. Младший брат Леопольда, Хьюго Кронекер, также пошёл научным путем, позже став известным физиологом. Затем Кронекер поступил в гимназию в Лигнице, где интересовался широким кругом тем, включая науку, историю и философию, а также занимался гимнастикой и плаванием. В гимназии его учил Эрнст Куммер, который заметил и поощрил интерес мальчика к математике. В 1841 году Кронекер стал студентом Берлинского университета, где его интерес не сразу сосредоточился на математике, а охватил несколько предметов, включая астрономию и философию. Летом 1843 года он изучал астрономию в Боннском университете, а в 1843–1844 годах в Бреслауском университете, следуя за своим бывшим учителем Куммером. Вернувшись в Берлин, Кронекер изучал математику с Питером Густавом Леженом Дирихле и в 1845 году защитил диссертацию по алгебраической теории чисел, написанную под руководством Дирихле. Получив степень, Кронекер не стал заниматься исследовательской работой на академической карьере. Он вернулся в родной город, чтобы управлять большим фермерским поместьем, накопленным дядей его матери, бывшим банкиром. В 1848 году он женился на своей кузине Фанни Прауснитцер, и у пары было шестеро детей. Несколько лет Кронекер сосредоточился на бизнесе, и хотя он продолжал изучать математику как хобби и переписывался с Куммером, он не публиковал никаких математических результатов. В 1853 году он написал работу об алгебраической разрешимости уравнений, развив работы Эвариста Галуа по теории уравнений. Благодаря своей деловой активности Кронекер был финансово обеспечен и поэтому смог вернуться в Берлин в 1855 году, чтобы заниматься математикой как частный ученый. Дирихле, жена которого Ребекка происходила из богатой семьи Мендельсонов, представил Кронекера берлинской элите. Он стал близким другом Карла Вейерштрасса, который недавно присоединился к университету, и своего бывшего учителя Куммера, который только что занял математическую кафедру Дирихле. Кронекер был научным руководителем Курта Хенселя, Адольфа Кнезера, Матиаса Лерха и Франца Мертенса, среди прочих. Его философский взгляд на математику в течение многих лет приводил к конфликтам с несколькими математиками, особенно напрягая его отношения с Вейерштрассом, который почти решил покинуть университет в 1888 году. В статье 1850 года «О решении общего уравнения пятой степени» Кронекер решил квинтическое уравнение, используя теорию групп (хотя его решение не было выражено через радикалы: это уже было доказано теоремой Абеля — Руффини). В алгебраической теории чисел Кронекер ввёл теорию делителей как альтернативу теории идеалов Дедекинда, которую он не считал приемлемой по философским соображениям. Хотя широкое признание подхода Дедекинда привело к тому, что теория Кронекера долгое время оставалась без внимания, его делители оказались полезными и были возрождены несколькими математиками в XX веке. Кронекер также внес вклад в понятие непрерывности, реконструируя представление об иррациональных числах в действительных числах. В анализе Кронекер отверг построение непрерывной, нигде не дифференцируемой функции своим коллегой Карлом Вейерштрассом. Также в честь Кронекера названы формула пределов Кронекера, сравнение Кронекера, дельта Кронекера, гребень Кронекера, символ Кронекера, произведение Кронекера, метод Кронекера для факторизации многочленов, подстановка Кронекера, теорема Кронекера в теории чисел, лемма Кронекера и числа Эйзенштейна — Кронекера.

Leopold Kronecker was born on 7 December 1823 in Liegnitz, Prussia (now Legnica, Poland) in a wealthy Jewish family. His parents, Isidor and Johanna (née Prausnitzep), took care of their children's education and provided them with private tutoring at home—Leopold's younger brother Hugo Kronecker would also follow a scientific path, later becoming a notable physiologist. Kronecker then went to the Liegnitz Gymnasium where he was interested in a wide range of topics including science, history and philosophy, while also practicing gymnastics and swimming. At the gymnasium he was taught by Ernst Kummer, who noticed and encouraged the boy's interest in mathematics. In 1841 Kronecker became a student at the University of Berlin where his interest did not immediately focus on mathematics, but rather spread over several subjects including astronomy and philosophy. He spent the summer of 1843 at the University of Bonn studying astronomy and 1843–44 at the University of Breslau following his former teacher Kummer. Back in Berlin, Kronecker studied mathematics with Peter Gustav Lejeune Dirichlet and in 1845 defended his dissertation in algebraic number theory written under Dirichlet's supervision. After obtaining his degree, Kronecker did not follow his interest in research on an academic career path. He went back to his hometown to manage a large farming estate built up by his mother's uncle, a former banker. In 1848 he married his cousin Fanny Prausnitzer, and the couple had six children. For several years Kronecker focused on business, and although he continued to study mathematics as a hobby and corresponded with Kummer, he published no mathematical results. In 1853 he wrote a memoir on the algebraic solvability of equations extending the work of Évariste Galois on the theory of equations. Due to his business activity, Kronecker was financially comfortable, and thus he could return to Berlin in 1855 to pursue mathematics as a private scholar. Dirichlet, whose wife Rebecka came from the wealthy Mendelssohn family, had introduced Kronecker to the Berlin elite. He became a close friend of Karl Weierstrass, who had recently joined the university, and his former teacher Kummer who had just taken over Dirichlet's mathematics chair. Kronecker was the supervisor of Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch, and Franz Mertens, amongst others. His philosophical view of mathematics put him in conflict with several mathematicians over the years, notably straining his relationship with Weierstrass, who almost decided to leave the university in 1888. In an 1850 paper, On the Solution of the General Equation of the Fifth Degree, Kronecker solved the quintic equation by applying group theory (though his solution was not in terms of radicals: that was already proven impossible by the Abel–Ruffini theorem). In algebraic number theory Kronecker introduced the theory of divisors as an alternative to Dedekind's theory of ideals, which he did not find acceptable for philosophical reasons. Although the general adoption of Dedekind's approach led Kronecker's theory to be ignored for a long time, his divisors were found useful and were revived by several mathematicians in the 20th century. Kronecker also contributed to the concept of continuity, reconstructing the form of irrational numbers in real numbers. In analysis, Kronecker rejected the formulation of a continuous, nowhere differentiable function by his colleague, Karl Weierstrass. Also named for Kronecker are the Kronecker limit formula, Kronecker's congruence, Kronecker delta, Kronecker comb, Kronecker symbol, Kronecker product, Kronecker's method for factorizing polynomials, Kronecker substitution, Kronecker's theorem in number theory, Kronecker's lemma, and Eisenstein–Kronecker numbers.

Философия математики

Финитизм Кронекера сделал его предтечей интуиционизма в основаниях математики.