Кіріспе
Үшбұрыштың төбесінен түсірілген медиананың сәйкес бұрыш биссекторына қатысты сымметриялық бейнесі
Геометрияда симмедиандар – әрбір үшбұрышқа тән үш ерекше түзу. Олар үшбұрыштың медианасын (төбесі мен қарсы жағының ортасымен қосылатын түзу) алып, осы медиананы сәйкес бұрыш биссекторына қатысты сымметриялық бейнелеу арқылы (сол төбе арқылы өтетін және бұрышты екіге бөлетін түзу) құрастырылады. Симмедиан мен бұрыш биссекторы арасындағы бұрыш, медиан мен бұрыш биссекторы арасындағы бұрышқа тең, бірақ бұрыш биссекторының екінші жағында орналасады. Үш симмедиан Лемойн нүктесі деп аталатын үшбұрыштың центрінде қиылысады. Росс Хонсбергер оның болуын "қазіргі геометрияның ең бағалы жетістіктерінің бірі" деп атады.
Изогоналдылық
Геометрияда жиі кездесетін жағдайларда, үшбұрыштың төбелері арқылы өтетін үш арнайы түзу, немесе цевиандарды қарастырсақ, олардың сәйкес бұрыш биссектрисаларына қатысты сымметриялық бейнелері, яғни теңбұрышты түзулер де қызықты қасиеттерге ие болады. Мысалы, егер үшбұрыштың үш цевианы P нүктесінде қиылысса, онда олардың теңбұрышты түзулері де P-нің теңбұрышты конугаты деп аталатын нүктеде қиылысады. Суретте медианалар (қара түсті) G центройда қиылысады. Симмедиандар (қызыл түсті) медианаларға теңбұрышты болғандықтан, симмедиандар да бір нүктеде, L нүктесінде қиылысады. Бұл нүкте үшбұрыштың симмедиан нүктесі, сондай-ақ Лемойн нүктесі немесе Гребе нүктесі деп аталады. Нүктелі сызықтар бұрыш биссектрисаларын көрсетеді; симмедиандар мен медианалар бұрыш биссектрисаларына симметриялы (сондықтан олар "симмедиан" деп аталады).
The symmedians illustrate this fact. In the diagram, the medians (in black) intersect at the centroid G.
Because the symmedians (in red) are isogonal to the medians, the symmedians also intersect at a single point, L.
This point is called the triangle's symmedian point, or alternatively the Lemoine point or Grebe point. The dotted lines are the angle bisectors; the symmedians and medians are symmetric about the angle bisectors (hence the name "symmedian.")
Симмедианның құрылысы
△ABC үшбұрышы болсын. B және C нүктелерінен шеңберге жүргізілген жанамалардың қиылысуы арқылы D нүктесін салайық. Онда AD – △ABC үшбұрышының симмедианасы болады. Бірінші дәлел. AD-ның ∠BAC бұрышының биссектрисіне қатысты симметриялық бейнесі BC түзуін M' нүктесінде кесіп өтеді. Содан кейін: Екінші дәлел. D' нүктесін D нүктесінің изогоналдық түйіндесі деп анықтайық. CD-ның биссектриске қатысты симметриялық бейнесі AB түзуіне параллель C арқылы өтетін түзу екенін көру оңай. BD үшін де осы айтылады, сондықтан ABD'C – параллелограмм. AD' – медиана, себебі параллелограмның диагональдары бір-бірін ортасынан бөледі, ал AD – оның биссектриске қатысты симметриялық бейнесі. Үшінші дәлел. ω шеңберінің центрі D нүктесінде орналасқан және ол B мен C нүктелері арқылы өтеді, ал O – △ABC үшбұрышының ортасы болсын. AB және AC түзулері ω шеңберін P және Q нүктелерінде кесіп өтеді делік. ∠ABC = ∠AQP = 1 болғандықтан, △ABC және △AQP үшбұрыштары ұқсас. Сонда ω шеңберінің диаметрі екенін және осыған байланысты D нүктесі арқылы өтетінін көреміз. Егер M нүктесі – ортасы болса, онда ұқсастықтан 1 = ∠BAM = ∠QAD, содан кейін нәтиже шығады. Төртінші дәлел. S нүктесі BC доғасының ортасы болсын. , сондықтан AS – ∠BAC бұрышының биссектрисі. M нүктесі – ортасы болсын, және D нүктесі – M нүктесіне қатысты шеңбердің инверстік нүктесі. Осыдан шеңбердің Аполлон шеңбері екенін және оның фокустары M мен D екенін білеміз. Сондықтан AS – ∠DAM бұрышының биссектрисі, және біз іздеген нәтижеге қол жеткіздік.
second proof. Define D' as the isogonal conjugate of D. It is easy to see that the reflection of CD about the bisector is the line through C parallel to AB. The same is true for BD, and so, ABD'C is a parallelogram. AD' is clearly the median, because a parallelogram's diagonals bisect each other, and AD is its reflection about the bisector. third proof. Let ω be the circle with center D passing through B and C, and let O be the circumcenter of △ABC. Say lines AB, AC intersect ω at P, Q, respectively. Since 1=∠ABC = ∠AQP, triangles △ABC and △AQP are similar. Since
we see that is a diameter of ω and hence passes through D. Let M be the midpoint of Since D is the midpoint of , the similarity implies that 1=∠BAM = ∠QAD, from which the result follows. fourth proof. Let S be the midpoint of the arc BC. , so AS is the angle bisector of ∠BAC. Let M be the midpoint of , and It follows that D is the Inverse of M with respect to the circumcircle. From that, we know that the circumcircle is an Apollonian circle with foci M, D. So AS is the bisector of angle ∠DAM, and we have achieved our wanted result.
Тетраэдрлер
Симмедиан нүктесі түсінігі (ретсіз) тетраэдрлерге де қатысты. ABCD тетраэдрі берілген болсын, егер P және Q жазықтықтары AB арқылы өтіп, ABC және ABD жазықтықтарымен бірдей бұрыштар жасаса, олар теңбұрышты түйіндес жазықтықтар болып табылады. M – қабырғаның ортасы болсын. ABM жазықтығына теңбұрышты түйіндес қабырғаны қамтитын жазықтық тетраэдрдің симмедиан жазықтығы деп аталады. Симмедиан жазықтықтары бір нүктеде қиылысатынын көрсетуге болады, ол симмедиан нүктесі. Бұл нүкте сонымен қатар тетраэдрдің жақтарынан квадратқа дейінгі арақашықтықты ең аз қылатын нүкте болып табылады.