Введение
Отражение медианы вершины треугольника относительно его биссектора угла.
В геометрии симмедианы — это три особые линии, связанные с каждым треугольником. Они строятся путем взятия медианы треугольника (линии, соединяющей вершину с серединой противоположной стороны) и отражения этой линии относительно соответствующего биссектора угла (линии, проходящей через ту же вершину и делящей угол пополам). Угол между симмедианой и бисектором угла имеет ту же величину, что и угол между медианой и бисектором угла, но расположен по другую сторону от биссектора угла. Три симмедианы пересекаются в точке, называемой точкой Лемойна. Росс Хонсбергер назвал существование этой точки «одной из драгоценных жемчужин современной геометрии».
Изогональность
Во многих случаях в геометрии, если мы возьмем три специальные линии, проходящие через вершины треугольника, или цевианы, то их отражения относительно соответствующих биссектрис углов, называемые изогональными линиями, также будут обладать интересными свойствами. Например, если три цевианы треугольника пересекаются в точке P, то их изогональные линии также пересекаются в точке, называемой изогональным сопряженным к точке P.
Симмедианы иллюстрируют этот факт. На диаграмме медианы (черные) пересекаются в центроиде G. Поскольку симмедианы (красные) являются изогональными к медианам, симмедианы также пересекаются в одной точке L. Эта точка называется симмедианной точкой треугольника, или альтернативно точкой Лемона, или точкой Гребе. Штриховые линии – это биссектрисы углов; симмедианы и медианы симметричны относительно биссектрис углов (отсюда и название "симмедиана").
Because the symmedians (in red) are isogonal to the medians, the symmedians also intersect at a single point, L.
This point is called the triangle's symmedian point, or alternatively the Lemoine point or Grebe point. The dotted lines are the angle bisectors; the symmedians and medians are symmetric about the angle bisectors (hence the name "symmedian.")
Конструкция симмедиана
Пусть △ABC — треугольник. Построим точку D как точку пересечения касательных, проведенных из точек B и C к описанной окружности. Тогда AD — симмедиана △ABC. Первое доказательство. Пусть отражение точки AD относительно биссектрисы угла BAC пересекает сторону BC в точке M'. Тогда:
second proof. Define D' as the isogonal conjugate of D. It is easy to see that the reflection of CD about the bisector is the line through C parallel to AB. The same is true for BD, and so, ABD'C is a parallelogram. AD' is clearly the median, because a parallelogram's diagonals bisect each other, and AD is its reflection about the bisector. third proof. Let ω be the circle with center D passing through B and C, and let O be the circumcenter of △ABC. Say lines AB, AC intersect ω at P, Q, respectively. Since 1=∠ABC = ∠AQP, triangles △ABC and △AQP are similar. Since
we see that is a diameter of ω and hence passes through D. Let M be the midpoint of Since D is the midpoint of , the similarity implies that 1=∠BAM = ∠QAD, from which the result follows. fourth proof. Let S be the midpoint of the arc BC. , so AS is the angle bisector of ∠BAC. Let M be the midpoint of , and It follows that D is the Inverse of M with respect to the circumcircle. From that, we know that the circumcircle is an Apollonian circle with foci M, D. So AS is the bisector of angle ∠DAM, and we have achieved our wanted result.
Второе доказательство. Определим D' как изогональный сопряженный к точке D. Легко увидеть, что отражение отрезка CD относительно биссектрисы является прямой, проходящей через точку C параллельно AB. То же самое верно для BD, следовательно, ABD'C — параллелограмм. AD' является явно медианой, поскольку диагонали параллелограмма пересекаются в середине, а AD — его отражение относительно биссектрисы. Третье доказательство. Пусть ω — окружность с центром в точке D, проходящая через точки B и C, а O — центр описанной окружности △ABC. Пусть прямые AB и AC пересекают окружность ω в точках P и Q соответственно. Поскольку ∠ABC = ∠AQP, треугольники △ABC и △AQP подобны. Поскольку мы видим, что отрезок PQ является диаметром окружности ω и, следовательно, проходит через точку D. Пусть M — середина отрезка BC. Поскольку D является серединой отрезка PQ, подобие влечет за собой, что ∠BAM = ∠QAD, из чего и следует требуемый результат. Четвертое доказательство. Пусть S — середина дуги BC. Тогда AS — биссектриса угла BAC. Пусть M — середина отрезка AS. Отсюда следует, что D — инверсия точки M относительно описанной окружности. Следовательно, описанная окружность является кругом Аполлония с фокусами M и D. Таким образом, AS является биссектрисой угла DAM, и мы достигаем желаемого результата.
second proof. Define D' as the isogonal conjugate of D. It is easy to see that the reflection of CD about the bisector is the line through C parallel to AB. The same is true for BD, and so, ABD'C is a parallelogram. AD' is clearly the median, because a parallelogram's diagonals bisect each other, and AD is its reflection about the bisector. third proof. Let ω be the circle with center D passing through B and C, and let O be the circumcenter of △ABC. Say lines AB, AC intersect ω at P, Q, respectively. Since 1=∠ABC = ∠AQP, triangles △ABC and △AQP are similar. Since
we see that is a diameter of ω and hence passes through D. Let M be the midpoint of Since D is the midpoint of , the similarity implies that 1=∠BAM = ∠QAD, from which the result follows. fourth proof. Let S be the midpoint of the arc BC. , so AS is the angle bisector of ∠BAC. Let M be the midpoint of , and It follows that D is the Inverse of M with respect to the circumcircle. From that, we know that the circumcircle is an Apollonian circle with foci M, D. So AS is the bisector of angle ∠DAM, and we have achieved our wanted result.
Тетраэдры
Понятие симмедианной точки распространяется на (неправильные) тетраэдры. Для тетраэдра ABCD две плоскости P и Q, проходящие через ребро AB, называются изогональными сопряженными, если они образуют равные углы с плоскостями ABC и ABD. Пусть M – середина ребра. Плоскость, содержащая ребро, изогональное плоскости ABM, называется симмедианной плоскостью тетраэдра. Можно показать, что симмедианные плоскости пересекаются в точке, называемой симмедианной точкой. Эта точка также минимизирует квадрат расстояния до граней тетраэдра.