Жазықтықтың мозаикалық жабылуы

Кіріспе

Математикада жазықтықтың плиткасы

Тесселяция немесе плитка – бетті, көбінесе жазықтықты, бір немесе бірнеше геометриялық пішіндерді, плиткалар деп аталатын, ешқандай үстіңгі жабылмау және бос орын қалдырмау принципімен жабу. Математикада тесселяция жоғары өлшемдерге және әртүрлі геометрияларға кеңейтілуі мүмкін. Периодты плитка қайталама үлгіге ие. Арнайы түрлеріне бір пішіндегі тұрақты көпбұрыштардан құралған тұрақты плиткалар, және әр бұрышы бірдей орналасқан, бірнеше пішіндегі тұрақты плиткалардан құралған жартылай тұрақты плиткалар жатады. Периодты плиткалар арқылы құрылған үлгілер 17 түрлі қабырға қағазы тобына жіктеледі. Қайталама үлгісі жоқ плитка "апериодты" деп аталады. Апериодты плиткалауда қайталама үлгі құруға мүмкін емес плитка пішіндерінің кіші жиынтығы қолданылады (апериодты прототильдер жиынтығы). Ғарыштың тесселяциясы, сондай-ақ кеңістікті толтыру немесе бал ұясы деп те аталады, жоғары өлшемді геометрияда анықталуы мүмкін. Нақты физикалық тесселяция – цементтелген керамикалық плиткалар немесе алтыбұрыштар сияқты материалдардан жасалған плитка. Мұндай плиткалар сәндік өрнектер болуы мүмкін, немесе беріктігі жоғары және су өткізбейтін төсеме, еден немесе қабырға жабыны сияқты функцияларды орындай алады. Тарихи тұрғыдан алғанда, тесселяциялар ежелгі Римде және ислам өнерінде, мысалы, марокко сәулетінде және Альгамбра сарайының сәндік геометриялық плиткаларында қолданылған. ХХ ғасырда М.К. Эшердің туындыларында тесселяциялар жиі қолданылды, бұл көркемдік эффект үшін еуропалық геометрияда да, гиперболалық геометрияда да болды. Тесселяциялар кейде тігісте сәндік эффект үшін қолданылады. Тесселяция – табиғаттағы үлгілердің бір класын құрайды, мысалы, бал араларында кездесетін алтыбұрышты ұялардың жиынтығы.

Тарих

Тесселяцияларды шумерлер (шамамен б.з.д. 4000) қабырға безендірулерінде, қыш плиткалардың өрнектері арқылы пайдаланған. Классикалық антикалық дәуірде кішкентай шаршы блоктардан – тессералардан жасалған әшекейлі мозаикалық плиткалар кеңінен қолданылды, кейде геометриялық өрнектер көрсетілді. Осыдан екі жүз жыл өткен соң, 1891 жылы, ресейлік кристаллограф Евграф Федоров жазықтықтың кез келген периодтық плиткасы он жеті түрлі изометриялық топтың бірін қамтитынын дәлелдеді. Федоровтың еңбегі тесселяциялардың математикалық зерттеуінің ресми емес бастауын белгіледі. Басқа да белгілі ғалымдар Алексей Васильевич Шубников пен Николай Беловтың "Colored Symmetry" (1964) кітабында, сондай-ақ Генрих Хиш пен Отто Кьенцле (1963) еңбектерінде кездеседі.

Этимология

Латын тілінде теселла – мозаика жасау үшін қолданылатын кішкентай куб тәрізді қыш, тас немесе шыны бөлікше. "Теселла" сөзі "кішкентай шаршы" дегенді білдіреді (тесерадан, шаршы, ал ол өз кезегінде грек тіліндегі "төрт" деген мағына беретін τέσσερα сөзінен шыққан). Бұл плиткалау деген күнделікті қолданылатын терминге сәйкес келеді, ол көбінесе жылтыратылған қыштан жасалған тесселяция қолдануларын білдіреді.

Шолу

Екі өлшемдегі теселлация, сондай-ақ жазықтыққа төсеу деп аталады, геометриядағы тақырып, ол плиткалар деп аталатын пішіндерді белгілі бір ережелерге сәйкес жазықтықты қандай да бір бос орын қалдырмай толтыру тәсілін зерттейді. Бұл ережелер әртүрлі болуы мүмкін. Көбінесе плиткалардың арасында тігізгіш болмауы және бір плитканың бұрышы екіншісінің қабырғасымен бірге жатпауы керек. Кірпіш қалау арқылы жасалған теселлациялар мұндай ережелерге бағынбайды. Ондай теселлациялардың ішінде, реттелген теселлацияда бірдей реттелген плиткалар мен бірдей реттелген бұрыштар немесе төбелер болады, әр плитканың жанындағы қабырғалары арасындағы бұрыш бірдей болады. Мұндай реттелген теселлация құруға болатын үш пішін ғана бар: теңқабыршалы үшбұрыш, шаршы және дұрыс алтыбұрыш. Осы үш пішіннің кез келгенін шексіз көшіріп, жазықтықты бос орынсыз толтыруға болады. Әртүрлі шектеулерде теселлацияның көптеген басқа түрлері де мүмкін. Мысалы, жартылай реттелген теселлацияның сегіз түрі бар, олар бірнеше түрлі реттелген көпбұрыштардан тұрады, бірақ әр төбеде көпбұрыштардың орналасуы бірдей болады. Бұрыс теселлациялар бесбұрыштар, полиоминолар және тіпті кез келген геометриялық пішін сияқты басқа пішіндерден де жасалуы мүмкін. Суретші М.К. Эшер жануарлар мен басқа да табиғи нысандарға ұқсас, бір-бірімен байланысқан бұрыс плиткалардан жасалған теселлациялар жасауымен танымал. Плиткалардың әр түрлі пішіндері үшін сәйкес келетін түстер таңдалса, керемет өрнектер пайда болады, оларды шіркеу едендері сияқты физикалық беттерді безендіру үшін қолдануға болады. Нақтырақ айтқанда, теселлация немесе жазықтыққа төсеу – бұл Евклид жазықтығының плиткалар деп аталатын жабық жиындықтардың саналатын санымен жабылуы, мұнда плиткалар тек өздерінің шекараларында ғана қиылысады. Бұл плиткалар көпбұрыштар немесе кез келген басқа пішін болуы мүмкін. Көптеген теселлациялар шекті сандағы түпнұсқа плиткалардан құралады, онда теселлациядағы барлық плиткалар берілген түпнұсқа плиткаларға конгруэнтті болады. Егер геометриялық пішін теселлация жасау үшін түпнұсқа плитка ретінде қолданыла алса, онда бұл пішін теселлациялайды немесе жазықтықты төсейді деуге болады. Конвей критерийі – берілген пішіннің жазықтықты кері айналдырмай, мезгіл-мезгіл төсеуін анықтау үшін жеткілікті, бірақ қажетті емес ережелер жиынтығы. Кейбір плиткалар бұл критерийге сай келмейді, бірақ жазықтықты төсеуге қабілетті. Берілген пішіннің жазықтықты төсеуге болатынын немесе болмайтынын анықтау үшін жалпы ереже табылмады, яғни теселлацияға қатысты көптеген шешілмеген мәселелер бар. Математикалық тұрғыдан алғанда, теселлацияларды Евклид жазықтығынан басқа кеңістіктерге де таратуға болады. Швейцариялық геометр Людвиг Шлефли бұл мәселені алға бастырды, ол қазір математиктер политоптар деп атаған полисхемаларды анықтады. Бұл көп өлшемді кеңістіктердегі көпбұрыштар мен полиэдрлерге ұқсас. Ол политоптарды сипаттауды жеңілдету үшін Шлефли белгілерін енгізді. Мысалы, теңқабыршалы үшбұрыш үшін Шлефли белгісі {3}, ал шаршы үшін {4}. Шлефли белгілері теселлацияларды ықшам түрде сипаттауға мүмкіндік береді. Мысалы, дұрыс алтыбұрыштардың теселлациясы әр төбеде үш алты жақты көпбұрыштан тұрады, сондықтан оның Шлефли белгісі {6,3}. Көпбұрышты теселлацияларды сипаттау үшін басқа да әдістер бар. Теселлация дұрыс көпбұрыштардан жасалған кезде, ең көп қолданылатын белгі – бұл төбе конфигурациясы, ол төбедегі көпбұрыштардың қабырғаларының санын тізімдейді. Шаршы теселлациясы 4.4.4.4 немесе 44 конфигурациясына ие. Дұрыс алтыбұрыштардың теселлациясы 6.6.6 немесе 63 деп белгіленеді.

Tessellation in two dimensions, also called planar tiling, is a topic in geometry that studies how shapes, known as tiles, can be arranged to fill a plane without any gaps, according to a given set of rules. These rules can be varied. Common ones are that there must be no gaps between tiles, and that no corner of one tile can lie along the edge of another. The tessellations created by bonded brickwork do not obey this rule. Among those that do, a regular tessellation has both identical regular tiles and identical regular corners or vertices, having the same angle between adjacent edges for every tile. There are only three shapes that can form such regular tessellations: the equilateral triangle, square and the regular hexagon. Any one of these three shapes can be duplicated infinitely to fill a plane with no gaps. Many other types of tessellation are possible under different constraints. For example, there are eight types of semi regular tessellation, made with more than one kind of regular polygon but still having the same arrangement of polygons at every corner. Irregular tessellations can also be made from other shapes such as pentagons, polyominoes and in fact almost any kind of geometric shape. The artist M. C. Escher is famous for making tessellations with irregular interlocking tiles, shaped like animals and other natural objects. If suitable contrasting colours are chosen for the tiles of differing shape, striking patterns are formed, and these can be used to decorate physical surfaces such as church floors. More formally, a tessellation or tiling is a cover of the Euclidean plane by a countable number of closed sets, called tiles, such that the tiles intersect only on their boundaries. These tiles may be polygons or any other shapes. Many tessellations are formed from a finite number of prototiles in which all tiles in the tessellation are congruent to the given prototiles. If a geometric shape can be used as a prototile to create a tessellation, the shape is said to tessellate or to tile the plane. The Conway criterion is a sufficient, but not necessary, set of rules for deciding whether a given shape tiles the plane periodically without reflections: some tiles fail the criterion, but still tile the plane. No general rule has been found for determining whether a given shape can tile the plane or not, which means there are many unsolved problems concerning tessellations. Mathematically, tessellations can be extended to spaces other than the Euclidean plane. The Swiss geometer Ludwig Schläfli pioneered this by defining polyschemes, which mathematicians nowadays call polytopes. These are the analogues to polygons and polyhedra in spaces with more dimensions. He further defined the Schläfli symbol notation to make it easy to describe polytopes. For example, the Schläfli symbol for an equilateral triangle is {3}, while that for a square is {4}. The Schläfli notation makes it possible to describe tilings compactly. For example, a tiling of regular hexagons has three six sided polygons at each vertex, so its Schläfli symbol is {6,3}. Other methods also exist for describing polygonal tilings. When the tessellation is made of regular polygons, the most common notation is the vertex configuration, which is simply a list of the number of sides of the polygons around a vertex. The square tiling has a vertex configuration of 4.4.4.4, or 44. The tiling of regular hexagons is noted 6.6.6, or 63.

Тесселяциямен таныстыру

Математиктер плиткаларды талқылау кезінде кейбір техникалық терминдерді қолданады. Шет – екі шекаралас плитканың қиылысуы; ол көбінесе түзу сызық болады. Төбе – үш немесе одан көп шекаралас плиткалардың қиылысқан нүктесі. Осы терминдерді пайдаланып, теңбұрышты немесе төбелік транзитивті плитка – бұл әрбір төбесі бірдей болатын плитка; яғни, әрбір төбедегі көпбұрыштардың орналасуы бірдей. Негізгі аймақ – бұл тіктөртбұрыш сияқты пішін, ол теселяцияны құру үшін қайталанады. Мысалы, жазықтықтың шаршылармен тұрақты кескіндемесінде әр төбеде төрт шаршы жиналады. Көпбұрыштардың қабырғалары міндетті түрде плиткалардың шеттерімен сәйкес келмейді. Шетке шет тіркесетін плиткалау – кез келген көпбұрышты кескіндеме, онда жанындағы плиткалар тек бір толық қабырғасын бөліседі, яғни, ешбір плитка басқа плиткамен жартылай қабырғасын немесе бір қабырғасынан көп қабырғасын бөліспейді. Шетке шет тіркесетін плиткалауда көпбұрыштардың қабырғалары мен плиткалардың шеттері бірдей болады. «Кірпіш қабырғасы» плиткасы шетке шет тіркесетін емес, себебі әр тіктөртбұрышты кірпіштің ұзын қабырғасы екі жанындағы кірпішпен бөліседі. Қалыпты плитка – бұл әрбір плиткасы топологиялық тұрғыдан дискіге тең, кез келген екі плитканың қиылысы – байланысты жиын немесе бос жиын, ал барлық плиткалар біркелкі шектеледі. Бұл дегеніміз, плитканың барлық плиткалары үшін бір ғана сырттай орап тұратын радиус пен бір ғана іштей сызылатын радиусты қолдануға болады; бұл жағдай патологиялық түрде ұзын немесе жұқа плиткаларды қабылдамайды. Моногедральді плитка – бұл барлық плиткалары сәйкес келетін теселяция; оның тек бір прототилі бар. Моногедральді плитканың ерекше қызықты түрі – спиральді моногедральді плитка. Алғашқы спиральді моногедральді плитканы 1936 жылы Хайнц Водерберг ашқан; Водерберг плиткасының бірлік плиткасы – дөңгелек емес энеагон. Изогедральді плитка – моногедральді плитканың ерекше түрі, онда барлық плиткалар бірдей транзитивтік класына жатады, яғни барлық плиткалар плитканың симметрия тобындағы бірдей прототильдің түрлендірілімдері болып табылады. Жартылай тұрақты (немесе Архимед) кескіндемесі теңбұрышты орналасуда бірден көп түрдегі тұрақты көпбұрыштарды пайдаланады. Сегіз жартылай тұрақты плитка бар (немесе егер айна кескініндегі жұп плиткалар екі деп есептелсе, тоғыз). Оларды төбелік конфигурациясы арқылы сипаттауға болады; мысалы, квадраттар мен тұрақты сегізбұрыштардан тұратын жартылай тұрақты плитканың төбелік конфигурациясы 4.82 (әр төбеде бір квадрат пен екі сегізбұрыш болады). Эвклид жазықтығының шетке шет тіркеспейтін көптеген плиткалары болуы мүмкін, оның ішінде Пифагор плиткаларының отбасы, екі (параметрленген) өлшемді квадратты пайдаланатын, әр квадрат басқа өлшемнің төрт шаршысына тиетін теселяциялар. Шеттік теселяция – бұл әрбір плитканың жанындағы плитканың орнын алу үшін шетінен кері шағылыстыруға болатын плитка, мысалы, теңқабырғалы немесе теңбұрышты үшбұрыштардың массиві.

Mathematicians use some technical terms when discussing tilings. An edge is the intersection between two bordering tiles; it is often a straight line. A vertex is the point of intersection of three or more bordering tiles. Using these terms, an isogonal or vertex transitive tiling is a tiling where every vertex point is identical; that is, the arrangement of polygons about each vertex is the same. The fundamental region is a shape such as a rectangle that is repeated to form the tessellation. For example, a regular tessellation of the plane with squares has a meeting of four squares at every vertex. The sides of the polygons are not necessarily identical to the edges of the tiles. An edge to edge tiling is any polygonal tessellation where adjacent tiles only share one full side, i. e., no tile shares a partial side or more than one side with any other tile. In an edge to edge tiling, the sides of the polygons and the edges of the tiles are the same. The familiar "brick wall" tiling is not edge to edge because the long side of each rectangular brick is shared with two bordering bricks. A normal tiling is a tessellation for which every tile is topologically equivalent to a disk, the intersection of any two tiles is a connected set or the empty set, and all tiles are uniformly bounded. This means that a single circumscribing radius and a single inscribing radius can be used for all the tiles in the whole tiling; the condition disallows tiles that are pathologically long or thin. A monohedral tiling is a tessellation in which all tiles are congruent; it has only one prototile. A particularly interesting type of monohedral tessellation is the spiral monohedral tiling. The first spiral monohedral tiling was discovered by Heinz Voderberg in 1936; the Voderberg tiling has a unit tile that is a nonconvex enneagon. An isohedral tiling is a special variation of a monohedral tiling in which all tiles belong to the same transitivity class, that is, all tiles are transforms of the same prototile under the symmetry group of the tiling. A semi regular (or Archimedean) tessellation uses more than one type of regular polygon in an isogonal arrangement. There are eight semi regular tilings (or nine if the mirror image pair of tilings counts as two). These can be described by their vertex configuration; for example, a semi regular tiling using squares and regular octagons has the vertex configuration 4.82 (each vertex has one square and two octagons). Many non edge to edge tilings of the Euclidean plane are possible, including the family of Pythagorean tilings, tessellations that use two (parameterised) sizes of square, each square touching four squares of the other size. An edge tessellation is one in which each tile can be reflected over an edge to take up the position of a neighbouring tile, such as in an array of equilateral or isosceles triangles.

Таспалдар топтары

Екі тәуелсіз бағыттағы трансляциялық симметриясы бар плиткаларды обои топтарына жіктеуге болады, олардың 17-сі бар. Испанияның Гранада қаласындағы Альгамбра сарайында осы жиырма жеті топтың барлығы да кездеседі деп айтылады. Бұл мәселе даулы болғанымен, Альгамбраның плиткаларының әртүрлілігі мен күрделілігі қазіргі зерттеушілерді қызықтырады. Үш реттелі плитканың екеуі p6m обой тобында, ал біреуі p4m тобында. Бір бағытта ғана трансляциялық симметриясы бар 2D плиткаларды жеті фриз тобымен жіктеуге болады, олар фриздердің мүмкін үлгілерін сипаттайды. Орбифолд жазбасы Евклид жазықтығының обои топтарын сипаттау үшін қолданылуы мүмкін.

Апериодикалық плиткалар

Пенроуз плиткалары, екі түрлі төртбұрышты прототильдерді пайдаланады, кезеңді емес үлгілерді жасауға мәжбүр ететін плиткалардың ең белгілі мысалы. Олар кезеңсіз плиткалардың жалпы класына жатады, олардың плиткалары кезеңді тескельдеуге мүмкіндік бермейді. Рекурсивті алмастыру процесі – апериодты плиткаларды жасау әдісі. Осылайша жасалатын бір классы – реп-плиткалар; бұл плиткалар күтпеген өзін-өзі көбейту қасиеттеріне ие. Pinwheel плиткалары реп-плитка құрылымын қолдана отырып, кезеңді емес, плиткалар шексіз көп бағыттарда пайда болады. Кезеңді емес үлгіде симметрия мүлдем болмайды деп ойлауға болады, бірақ бұл солай емес. Апериодты плиткалар, трансляциялық симметриядан басқа, плитканың кез келген шектеулі бөлігінің шексіз қайталануы және осы бөліктердің айналуы немесе көрінісі арқылы басқа типтегі симметрияға ие. Ромбтар деп аталатын плиткалар жиынтығын пайдалана отырып, Пенроуз үлгілерін жасау үшін қолданылатын алмастыру ережесі масштабтық симметрияны көрсетеді. Фибоначчи сөзін апериодты плитканы құру және апериодтық реттілікке ие құрылымдар – квазикристалдарды зерттеу үшін пайдалануға болады. Ван плиткалары – әр қабырғасы боялған квадраттар, олар тікелей жанасқан плиткалардың қабырғалары бірдей түске ие болуы үшін орналастырылады; сондықтан оларды кейде Ван доминолары деп атайды. Ван доминоларының қолайлы жиынтығы жазықтықты жабуға мүмкіндік береді, бірақ тек кезеңсіз түрде. Бұл мәлім, себебі кез келген Тьюринг машинасы жазықтықты жабатын Ван доминолары жиынтығы ретінде бейнелене алады, егер және тек қана Тьюринг машинасы тоқтамаса. Тоқтату мәселесі шешілмейтін болғандықтан, Ван доминосы жиынтығы жазықтықты жаба ала ма, жоқ па деген мәселе де шешілмейтін болып табылады. Трюше плиткалары – бұл айналу симметриясы жоқ өрнектермен безендірілген шаршы плиткалар; 1704 жылы Себастьен Трюше екі контрастты түсті үшбұрышқа бөлінген шаршы плитканы қолданды. Олар жазықтықты кезеңді немесе кездейсоқ түрде жабуға мүмкіндік береді. Эйнштейн плиткасы – апериодты плитканы жасауға мәжбүрлейтін жалғыз пішін. "Қалпақ" деп аталған алғашқы осындай плитка 2023 жылы хобби-математик Дэвид Смит тапты. Бұл жаңалық кәсіби сарапшылардың қарауында және расталғаннан кейін, ұзақ жылдар бойы шешілмей келген математикалық мәселені шешкені ретінде мойындалады.

Penrose tilings, which use two different quadrilateral prototiles, are the best known example of tiles that forcibly create non periodic patterns. They belong to a general class of aperiodic tilings, which use tiles that cannot tessellate periodically. The recursive process of substitution tiling is a method of generating aperiodic tilings. One class that can be generated in this way is the rep tiles; these tilings have unexpected self replicating properties. Pinwheel tilings are non periodic, using a rep tile construction; the tiles appear in infinitely many orientations. It might be thought that a non periodic pattern would be entirely without symmetry, but this is not so. Aperiodic tilings, while lacking in translational symmetry, do have symmetries of other types, by infinite repetition of any bounded patch of the tiling and in certain finite groups of rotations or reflections of those patches. A substitution rule, such as can be used to generate Penrose patterns using assemblies of tiles called rhombs, illustrates scaling symmetry. A Fibonacci word can be used to build an aperiodic tiling, and to study quasicrystals, which are structures with aperiodic order. Wang tiles are squares coloured on each edge, and placed so that abutting edges of adjacent tiles have the same colour; hence they are sometimes called Wang dominoes. A suitable set of Wang dominoes can tile the plane, but only aperiodically. This is known because any Turing machine can be represented as a set of Wang dominoes that tile the plane if, and only if, the Turing machine does not halt. Since the halting problem is undecidable, the problem of deciding whether a Wang domino set can tile the plane is also undecidable. Truchet tiles are square tiles decorated with patterns so they do not have rotational symmetry; in 1704, Sébastien Truchet used a square tile split into two triangles of contrasting colours. These can tile the plane either periodically or randomly. An einstein tile is a single shape that forces aperiodic tiling. The first such tile, dubbed a "hat", was discovered in 2023 by David Smith, a hobbyist mathematician. The discovery is under professional review and, upon confirmation, will be credited as solving a longstanding mathematical problem.

Тесселяциялар мен түстер

Кейде плитканың түсі плитканың құрамының бір бөлігі ретінде қарастырылады; ал кейде кездейсоқ түстер кейіннен қолданылуы мүмкін. Түстермен бейнеленген плитка жайлы сөйлескенде, түсініксіздікті болдырмау үшін түстердің плитканың өзінің бөлігі ме, әлде оның иллюстрациясының бөлігі ме екенін нақты көрсету қажет. Бұл бірдей пішіндегі, бірақ әртүрлі түстердегі плиткалардың бірдей саналатынына әсер етеді, ал бұл өз кезегінде симметрия мәселелеріне әсер етеді. Төрт түстің теоремасы бойынша, егер қалыпты Евклид жазықтығының кескініне төрт түс жиынтығы берілсе, әрбір плитканы бір түске бояуға болады, сонда оң ұзындығы бар қисықта бірдей түстегі плиткалар қабаттаспайды. Төрт түстің теоремасымен қамтамасыз етілген бояу, әдетте, кескіштің симметриясын сақтамайды. Симметрияны сақтайтын бояу жасау үшін түстерді кескіштің құрамының бөлігі ретінде қарастыру керек. Мұндай жағдайда, сол жақтағы суретте көрсетілгендей, жеті түске дейін қажет болуы мүмкін.

Көпбұрышты Tessellations

Тұрақты көпбұрыштармен жасалған әртүрлі мозаикалармен қатар, басқа көпбұрыштардың мозаикалары да зерттелді. Кез келген үшбұрыш немесе төртбұрыш (тіпті дөңес емес) моногедральды мозаика құру үшін протоплика ретінде қолданылуы мүмкін, көбінесе бірнеше тәсілмен. Кездейсоқ төртбұрыштың көшірмелері барлық қабырғаларының орта нүктелерінде орталықтары бар трансляциялық симметрия және 2 есе айналу симметриясы бар мозаика құра алады. Асимметриялық төртбұрыштар үшін бұл мозаикалар қабырға қағазы p2 тобына жатады. Негізгі домен ретінде төртбұрыш алынады. Сонымен қатар, айналу ортасынан басталатын және минималды трансляция векторлары жиынтығымен анықталатын параллелограмм құруға болады. Бұл параллелограмды бір диагональмен бөліп, бір жартысын (үшбұрышты) негізгі домен ретінде алуға болады. Мұндай үшбұрыштың ауданы төртбұрышпен бірдей және оны кесіп, орналастыру арқылы құруға болады. Егер тек бір түрі ғана плиткаға рұқсат етілсе, N=3, 4, 5 және 6 үшін дөңес N-бұрышты мозаикалар бар. N=5 үшін Пентагональды мозаиканы, N=6 үшін Гексагональды мозаиканы, N=7 үшін Гептагональды мозаиканы және N=8 үшін Октагональды мозаиканы қараңыз. Дөңес емес көпбұрыштарды қолданғанда, қабырғалар санының шектеулері әлдеқайда аз, тіпті тек бір түрі ғана плиткаға рұқсат етілсе де. Полиомино – дөңес немесе дөңес емес плиткалардың мысалы, олардың әртүрлі комбинациялары, айналулары және кері айналулары жазықтықты мозаикалау үшін қолданылуы мүмкін. Жазықтықты полиоминолармен мозаикалау туралы нәтижелер үшін Polyomino § Полиоминоның қолданылуы бөлімін қараңыз.

Вороной плиткалары

Вороной немесе Дирихле тілтестігі – әрбір тілтесік анықталатын нүктелердің дискретті жиынтығындағы бір нүктеге ең жақын нүктелер жиынтығы ретінде анықталатын теселяциялар. (Географиялық аймақтарды қарастырыңыз, онда әрбір аймақ белгілі бір қалаға немесе пошта бөліміне ең жақын нүктелер жиынтығы ретінде анықталады.) Әр анықталатын нүкте үшін Вороной ұяшығы – дөңес көпбұрыш. Делоней үшбұрыштығы – Вороной теселяциясының қос графигі болып табылатын теселяция. Делоней үшбұрыштығы сандық модельдеуде пайдалы, өйткені анықталатын нүктелердің барлық мүмкін үшбұрыштығының арасында, Делоней үшбұрыштығы қабырғаларымен түзілген бұрыштардың ең кішісін максималдайды. Кездейсоқ орналасқан нүктелері бар Вороной тілтестіктерін жазықтықтың кездейсоқ тілтестіктерін құру үшін қолдануға болады.

Жоғары өлшемдегі теселяциялар

Тесселяцияны үш өлшемге дейін кеңейтуге болады. Кейбір көпжақтар үш өлшемді кеңістікті толтыру үшін (немесе мозаикалау) тұрақты кристалдық үлгіде жинақталуы мүмкін, оның ішінде текше (мұндай қасиетке ие жалғыз платондық көпжақ), ромбтық додекаэдр, қиықталған октаэдр және үшбұрышты, төртбұрышты және алтыбұрышты призмалар бар. Бұл шартқа сәйкес келетін кез келген көпжақ плезиоэдр деп аталады және 4-тен 38 бетке дейін болуы мүмкін. Табиғатта кездесетін ромбтық додекаэдрлер андрадит (гранаттың бір түрі) және флюорит кристалдары түрінде табылады. Үш немесе одан көп өлшемдегі тесселяциялар бал ұясы деп аталады. Үш өлшемде тек бір тұрақты бал ұясы бар, оның әрбір көпжақтың төбесінде сегіз текше орналасқан. Сол сияқты, үш өлшемде тек бір квазитұрақты бал ұясы бар, оның әрбір көпжақтың төбесінде сегіз тетраэдр және алты октаэдр орналасқан. Дегенмен, үш өлшемде көптеген жартылай тұрақты бал ұялары бар. Біртекті бал ұяларын Витхофф құрылысын пайдаланып жасауға болады. Шмидт-Конвей бипризмасы – кеңістікті тек апериодты түрде мозаикалайтын қасиеті бар дөңес көпжақ. Шварц үшбұрышы – шарды мозаикалау үшін қолданылатын сфералық үшбұрыш.

Эуклидтік емес геометриядағы теселяциялар

Гиперболалық геометрия сияқты Евклидтік емес геометрияларда мозаика салу мүмкін. Гиперболалық жазықтықтағы біртекті мозаика (қалыпты, жартылай қалыпты немесе аралас болуы мүмкін) – гиперболалық жазықтықтың қабырғаларынан қабырғаға дейін толық жабуы, беттері – қалыпты көпбұрыштар; олар төбелік транзитивті (төбелері бойынша транзитивті) және изогональды (әрбір төбесін кез келген басқа төбеге бейнелейтін изометрия бар). Гиперболалық кеңістіктегі біртекті бал ұясы – біртекті полиэдрлік жасушалардың біртекті мозаикасы. Үш өлшемді (3D) гиперболалық кеңістікте Wythoff құралымдары арқылы жасалған, әрбір отбасы үшін Коксетер диаграммасы сақиналарының орналасуымен көрсетілген, тығыз және дөңес біртекті бал ұяларының тоғыз Коксетер тобы бар.

Өнер саласында

Архитектурада кескіндер ежелгі заманнан бері әшекейлік мотивтер жасау үшін қолданылып келген. Мозаикалық плиткалардың көбінесе геометриялық өрнектері болған. Кейінгі цивилизациялар да қарапайым немесе жекелеп безендірілген үлкен плиткаларды пайдаланған. Ең әсемдерінің бірі – Ислам архитектурасының мавр қабырғалары, олар Гирих және Зелидж плиткаларын Альгамбра мен Ла Мескита сияқты ғимараттарда қолданған. Тесселяция М.К. Эшердің графикалық өнерінде жиі кездеседі; ол 1936 жылы Испанияға сапар шеккен кезде Альгамбра сияқты жерлерде маврлардың қолданған симметриясынан шабыттанды. Эшер гиперболалық геометрияны қолданатын «Шекараның шегі» атты төрт сурет жасады. «Шекараның шегі IV» (1960) ағаш кескіні үшін Эшер қажетті геометрияны көрсететін қалам мен сызғышпен зерттеу жүргізді. Эшер: «Барлық серияның бірде-бір бөлігі, шексіз қашықтықтан ракеталар сияқты тік көтеріліп, соңында оған сіңіп кетеді, ешқашан шекара сызығына жетпейді» деп түсіндірді. Тесселяциялық өрнектер жиі тоқылған, тігілген немесе басылған маталарда кездеседі. Тесселяция үлгілері жамылғыштарда пішіндес бөліктердің бірімен-бірі байланысқан мотивтерін жобалау үшін қолданылған. Тесселяция – оригамиде (қағаз бүктеу) маңызды жанр, онда молекулаларды, мысалы, бұрылыс бүктелімдерін қайталайтын тәсілмен байланыстыру үшін бүктелімдер қолданылады.

Өндiрiсте

Тесселяция өңдеу өнеркәсібінде, мысалы, автомобиль есіктері немесе сусын банкалары сияқты заттар үшін нысандарды кесу кезінде металл жақтары сияқты материалдың ысырабын (өнім шығындарын) азайту үшін қолданылады. Тесселяция жұқа пленкалардың балшық жарықтары сияқты жарылуында көрінеді – микро және нанотехнологияларды пайдалану арқылы өзін-өзі ұйымдастырудың белгілі бір дәрежесі байқалады.

Табиғатта

Бал арасы – табиғаттағы кесудің жақсы белгілі мысалы, оның алтыбұрышты ұялары бар. Ботаникада "теселлат" термині гүлдің жапырағында, ағаш қабығында немесе жемісте сияқты, шар тәрізді өрнекті сипаттайды. Фритиллярия және Colchicum-ның кейбір түрлері сияқты гүлдер ерекше теселлатталған. Табиғаттағы көптеген өрнектер материалдардың бетіндегі жарықтардан пайда болады. Бұл өрнектерді Гилберт теселяцияларымен сипаттауға болады, оларды кездейсоқ жарықтар желісі деп те атайды. Гилберт теселяциясы – лай жарықтары, ине тәрізді кристалдар және ұқсас құрылымдардың пайда болуына арналған математикалық модель. Эдгар Гилберт есімімен аталған бұл модель, жарықтардың жазықтықта кездейсоқ таралып, басталу нүктесінен екі қарама-қарсы бағытта, кездейсоқ еңіспен өсуіне мүмкіндік береді, нәтижесінде бұрышты көпбұрыштардың теселяциясы пайда болады. Базальттық лава ағындары көбінесе лава салқындағандағы қысылу күштерінен туындаған бағаналы біріктіруді көрсетеді, бұл жарықтарға әкеледі. Осы жарықтардың кеңінен таралуы лаваның алтыбұрышты бағаналарын құрайды. Мұндай бағаналардың бір мысалы – Солтүстік Ирландиядағы Гиганттар жолы. Теселлатталған төсем, оның ерекше мысалы Тасманияның Тасман түбегіндегі Eaglehawk Neck-те табылады, – бұл сирек кездесетін шөгінді тау жынысы, онда тау жынысы тікбұрышты блоктарға бөлінеді. Басқа табиғи өрнектер көбіктерде кездеседі; олар Плато заңдарына сәйкес жиналады, олар минималды беттерді талап етеді. Мұндай көбіктер жасушаларды мүмкіндігінше тығыз жинау мәселесін тудырады: 1887 жылы лорд Кельвин тек бір қатты дене – өте сәл қисайған беттері бар біт-рнк кубикалық бал арасын пайдалануды ұсынды. 1993 жылы Денис Вир және Роберт Фелан Кельвин көбігіне қарағанда тең көлемді жасушаларды бөлу үшін аз беттік ауданды пайдаланатын Вир-Фелан құрылымын ұсынды.

Пазлдар мен демалыс математикасында

Тесселяциялар түрлі плиткалық жұмбақтардың пайда болуына себеп болды, дәстүрлі пазлдар (ретсіз тақта немесе картон бөліктерінен жасалған) және танграмнан бастап, көбінесе математикалық негізге ие заманауи жұмбақтарға дейін. Мысалы, полидиамондтар мен полиоминолар – жүйелі үшбұрыштар мен квадраттардан құралған фигуралар, олар жиі плиткалау жұмбақтарында қолданылады. Генри Дюденей және Мартин Гарднер сияқты авторлар ойын-сауық математикасында тесселяцияны кеңінен пайдаланған. Мысалы, Дюденей иілмелі диссекцияны ойлап тапты, ал Гарднер сол пішіннің кішірек көшірмелеріне бөлінетін "реп-плитка" туралы жазды. Гарднердің "Scientific American" журналындағы мақалаларынан шабыттанған әуесқой математик Марджори Райс бесбұрыштармен төрт жаңа тесселяцияны тапты. "Квадратты квадраттау" мәселесі – бүтін сан ұзындығындағы қабырғалары бар интегралды квадратты, тек басқа интегралды квадраттарды пайдаланып плиткалауды қамтиды. Оның кеңейтілген түрі – жазықтықты квадраттау, яғни оны қайталанусыз барлық жаратылыс сандарының өлшемдеріне ие квадраттармен кесу; Джеймс және Фредерик Хенле мұның мүмкін екенін дәлелдеді.