Паркеты и мозаики: математика и искусство укладки плоскостей.

Введение

Плитка плоскости в математике

Тесселяция или плитка – это покрытие поверхности, часто плоскости, с использованием одной или нескольких геометрических фигур, называемых плитками, без перекрытий и зазоров. В математике тесселяция может быть обобщена на более высокие размерности и различные геометрии. Периодическая плитка имеет повторяющийся узор. Некоторые специальные виды включают регулярные плитки, состоящие из правильных многоугольных плиток одной формы, и полурегулярные плитки, состоящие из правильных плиток нескольких форм, при этом каждый угол расположен одинаково. Узоры, образованные периодическими плитками, можно классифицировать по 17 группам обоев. Плитка, не имеющая повторяющегося узора, называется "непериодической". Апериодическая плитка использует небольшой набор форм плиток, которые не могут образовать повторяющийся узор (апериодический набор прототипов). Тесселяция пространства, также известная как заполнение пространства или соты, может быть определена в геометрии более высоких размерностей. Реальная физическая тесселяция – это плитка, выполненная из материалов, таких как цементированные керамические квадраты или шестиугольники. Такие плитки могут быть декоративными узорами или выполнять функции, например, обеспечивать прочное и водонепроницаемое покрытие тротуаров, полов или стен. Исторически тесселяции использовались в Древнем Риме и в исламском искусстве, например, в марокканской архитектуре и декоративной геометрической плитке дворца Альгамбра. В двадцатом веке в работах М.К. Эшера часто использовались тесселяции как в обычной евклидовой геометрии, так и в гиперболической геометрии, для достижения художественного эффекта. Тесселяции иногда используются для декоративного эффекта в лоскутном шитье. Тесселяции формируют класс узоров в природе, например, в массивах шестиугольных ячеек, встречающихся в сотах.

История

Тесселяции использовались шумерами (около 4000 г. до н.э.) при создании настенных украшений, состоящих из узоров из глиняных плиток. Декоративные мозаичные покрытия, составленные из небольших квадратных блоков, называемых тессерами, широко применялись в античности, иногда демонстрируя геометрические орнаменты. Примерно через двести лет, в 1891 году, русский кристаллограф Евгений Фёдоров доказал, что любое периодическое покрытие плоскости относится к одной из семнадцати различных групп изометрий. Работа Фёдорова ознаменовала неофициальное начало математического изучения тесселяций. Среди других заметных исследователей – Алексей Васильевич Шубников и Николай Белов в своей книге «Цветная симметрия» (1964), а также Генрих Хиш и Отто Кьенцле (1963).

Этимология

На латыни тесселла – это небольшой кубический фрагмент глины, камня или стекла, используемый для создания мозаик. Слово "тесселла" означает "маленький квадрат" (от tessera – квадрат, которое, в свою очередь, происходит от греческого слова τέσσερα, означающего "четыре"). Это соответствует бытовому термину "плитка", обозначающему применение тесселяций, часто выполненных из глазурованной глины.

Обзор

Тесселяция в двух измерениях, также называемая планарной мощением, является разделом геометрии, изучающим, как фигуры, известные как плитки, могут быть расположены для заполнения плоскости без промежутков, в соответствии с заданным набором правил. Эти правила могут варьироваться. Обычно подразумевается отсутствие промежутков между плитками и отсутствие ситуации, когда угол одной плитки лежит на ребре другой. Тесселяции, созданные из кладки кирпича, не подчиняются этому правилу. Среди тех, которые подчиняются, регулярная тесселяция характеризуется идентичными правильными плитками и идентичными правильными углами или вершинами, имеющими одинаковый угол между смежными ребрами для каждой плитки. Существует только три фигуры, которые могут образовывать такие регулярные тесселяции: равносторонний треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. Любую из этих трех фигур можно бесконечно повторять для заполнения плоскости без промежутков. Возможны и многие другие типы тесселяций при различных ограничениях. Например, существует восемь типов полуправильных тесселяций, составленных из более чем одного вида правильных многоугольников, но при этом имеющих одинаковое расположение многоугольников в каждом углу. Нерегулярные тесселяции также могут быть созданы из других фигур, таких как пятиугольники, полиомино и, по сути, из почти любой геометрической формы. Художник М.К. Эшер известен своими тесселяциями с неправильными, переплетающимися плитками в форме животных и других природных объектов. При выборе подходящих контрастных цветов для плиток различной формы образуются эффектные узоры, которые можно использовать для украшения физических поверхностей, таких как церковные полы. Более формально, тесселяция или мощение — это покрытие евклидовой плоскости счетным числом замкнутых множеств, называемых плитками, так, что плитки пересекаются только по своим границам. Эти плитки могут быть многоугольниками или любыми другими фигурами. Многие тесселяции формируются из конечного числа прототилей, в которых все плитки в тесселяции конгруэнтны заданным прототилям. Если геометрическую фигуру можно использовать в качестве прототиля для создания тесселяции, то говорят, что фигура тесселирует или покрывает плоскость. Критерий Конвея представляет собой достаточное, но не необходимое, условие для определения того, покрывает ли данная фигура плоскость периодически без отражений: некоторые плитки не удовлетворяют критерию, но все же покрывают плоскость. Общего правила для определения того, может ли данная фигура покрывать плоскость, не найдено, что означает, что существует множество нерешенных проблем, связанных с тесселяциями. Математически тесселяции можно расширить на пространства, отличные от евклидовой плоскости. Швейцарский геометр Людвиг Шлефли был пионером в этом направлении, определив полисхемы, которые математики сегодня называют политопами. Это аналоги многоугольников и многогранников в пространствах с большим числом измерений. Он также разработал нотацию символов Шлефли, чтобы упростить описание политопов. Например, символ Шлефли для равностороннего треугольника — {3}, а для квадрата — {4}. Нотация Шлефли позволяет компактно описывать мощения. Например, мощение правильными шестиугольниками имеет три шестисторонних многоугольника в каждой вершине, поэтому его символ Шлефли равен {6,3}. Существуют и другие методы описания многоугольных мощений. Когда мощение состоит из правильных многоугольников, наиболее распространенной нотацией является конфигурация вершин, которая представляет собой просто список количества сторон многоугольников вокруг вершины. Квадратное мощение имеет конфигурацию вершин 4.4.4.4 или 44. Мощение правильными шестиугольниками обозначается как 6.6.6 или 63.

Tessellation in two dimensions, also called planar tiling, is a topic in geometry that studies how shapes, known as tiles, can be arranged to fill a plane without any gaps, according to a given set of rules. These rules can be varied. Common ones are that there must be no gaps between tiles, and that no corner of one tile can lie along the edge of another. The tessellations created by bonded brickwork do not obey this rule. Among those that do, a regular tessellation has both identical regular tiles and identical regular corners or vertices, having the same angle between adjacent edges for every tile. There are only three shapes that can form such regular tessellations: the equilateral triangle, square and the regular hexagon. Any one of these three shapes can be duplicated infinitely to fill a plane with no gaps. Many other types of tessellation are possible under different constraints. For example, there are eight types of semi regular tessellation, made with more than one kind of regular polygon but still having the same arrangement of polygons at every corner. Irregular tessellations can also be made from other shapes such as pentagons, polyominoes and in fact almost any kind of geometric shape. The artist M. C. Escher is famous for making tessellations with irregular interlocking tiles, shaped like animals and other natural objects. If suitable contrasting colours are chosen for the tiles of differing shape, striking patterns are formed, and these can be used to decorate physical surfaces such as church floors. More formally, a tessellation or tiling is a cover of the Euclidean plane by a countable number of closed sets, called tiles, such that the tiles intersect only on their boundaries. These tiles may be polygons or any other shapes. Many tessellations are formed from a finite number of prototiles in which all tiles in the tessellation are congruent to the given prototiles. If a geometric shape can be used as a prototile to create a tessellation, the shape is said to tessellate or to tile the plane. The Conway criterion is a sufficient, but not necessary, set of rules for deciding whether a given shape tiles the plane periodically without reflections: some tiles fail the criterion, but still tile the plane. No general rule has been found for determining whether a given shape can tile the plane or not, which means there are many unsolved problems concerning tessellations. Mathematically, tessellations can be extended to spaces other than the Euclidean plane. The Swiss geometer Ludwig Schläfli pioneered this by defining polyschemes, which mathematicians nowadays call polytopes. These are the analogues to polygons and polyhedra in spaces with more dimensions. He further defined the Schläfli symbol notation to make it easy to describe polytopes. For example, the Schläfli symbol for an equilateral triangle is {3}, while that for a square is {4}. The Schläfli notation makes it possible to describe tilings compactly. For example, a tiling of regular hexagons has three six sided polygons at each vertex, so its Schläfli symbol is {6,3}. Other methods also exist for describing polygonal tilings. When the tessellation is made of regular polygons, the most common notation is the vertex configuration, which is simply a list of the number of sides of the polygons around a vertex. The square tiling has a vertex configuration of 4.4.4.4, or 44. The tiling of regular hexagons is noted 6.6.6, or 63.

Введение в тесселяции

Математики используют некоторые технические термины при обсуждении покрытий. Края – это пересечение двух соседних плиток; часто это прямая линия. Вершина – это точка пересечения трех или более граничащих плиток. Используя эти термины, изогональное или транзитивное по вершинам покрытие – это покрытие, в котором каждая вершина идентична; то есть расположение многоугольников вокруг каждой вершины одинаково. Основная область – это фигура, например прямоугольник, которая повторяется для формирования тесселяции. Например, регулярная тесселяция плоскости квадратами имеет по четыре квадрата, сходящихся в каждой вершине. Стороны многоугольников не обязательно совпадают с краями плиток. Покрытие «край к краю» – это любая многоугольная тесселяция, в которой соседние плитки имеют только одну общую сторону, то есть ни одна плитка не имеет общей частичной стороны или более одной стороны с другой плиткой. В покрытии «край к краю» стороны многоугольников и края плиток совпадают. Знакомое покрытие «кирпичной стеной» не является покрытием «край к краю», поскольку длинная сторона каждого прямоугольного кирпича разделяется с двумя соседними кирпичами. Нормальное покрытие – это тесселяция, для которой каждая плитка топологически эквивалентна диску, пересечение любых двух плиток является связным множеством или пустым множеством, и все плитки равномерно ограничены. Это означает, что для всех плиток в покрытии можно использовать один радиус описанной окружности и один радиус вписанной окружности; это условие исключает плитки, которые патологически длинные или тонкие. Моноэдральное покрытие – это тесселяция, в которой все плитки конгруэнтны; оно имеет только один прототип. Особенно интересным типом моноэдральной тесселяции является спиральное моноэдральное покрытие. Первое спиральное моноэдральное покрытие было обнаружено Хайнцем Водербергом в 1936 году; покрытие Водерберга имеет единичную плитку, которая является невыпуклым энеагоном. Изоэдральное покрытие – это специальная разновидность моноэдрального покрытия, в которой все плитки принадлежат к одному и тому же классу транзитивности, то есть все плитки являются преобразованиями одного и того же прототипа под группой симметрии покрытия. Полурегулярная (или архимедова) тесселяция использует более одного типа правильного многоугольника в изогональном расположении. Существует восемь полурегулярных покрытий (или девять, если пара зеркальных изображений покрытий считается двумя). Их можно описать по конфигурации вершин; например, полурегулярное покрытие с использованием квадратов и правильных восьмиугольников имеет конфигурацию вершин 4.8.2 (каждая вершина имеет один квадрат и два восьмиугольника). Возможно множество покрытий, не являющихся «край к краю», плоскости Евклида, включая семейство пифагорейских покрытий, тесселяции, которые используют два (параметризованных) размера квадратов, каждый квадрат касается четырех квадратов другого размера. Покрытие по краю – это покрытие, в котором каждую плитку можно отразить относительно края, чтобы занять положение соседней плитки, например, в массиве равносторонних или равнобедренных треугольников.

Mathematicians use some technical terms when discussing tilings. An edge is the intersection between two bordering tiles; it is often a straight line. A vertex is the point of intersection of three or more bordering tiles. Using these terms, an isogonal or vertex transitive tiling is a tiling where every vertex point is identical; that is, the arrangement of polygons about each vertex is the same. The fundamental region is a shape such as a rectangle that is repeated to form the tessellation. For example, a regular tessellation of the plane with squares has a meeting of four squares at every vertex. The sides of the polygons are not necessarily identical to the edges of the tiles. An edge to edge tiling is any polygonal tessellation where adjacent tiles only share one full side, i. e., no tile shares a partial side or more than one side with any other tile. In an edge to edge tiling, the sides of the polygons and the edges of the tiles are the same. The familiar "brick wall" tiling is not edge to edge because the long side of each rectangular brick is shared with two bordering bricks. A normal tiling is a tessellation for which every tile is topologically equivalent to a disk, the intersection of any two tiles is a connected set or the empty set, and all tiles are uniformly bounded. This means that a single circumscribing radius and a single inscribing radius can be used for all the tiles in the whole tiling; the condition disallows tiles that are pathologically long or thin. A monohedral tiling is a tessellation in which all tiles are congruent; it has only one prototile. A particularly interesting type of monohedral tessellation is the spiral monohedral tiling. The first spiral monohedral tiling was discovered by Heinz Voderberg in 1936; the Voderberg tiling has a unit tile that is a nonconvex enneagon. An isohedral tiling is a special variation of a monohedral tiling in which all tiles belong to the same transitivity class, that is, all tiles are transforms of the same prototile under the symmetry group of the tiling. A semi regular (or Archimedean) tessellation uses more than one type of regular polygon in an isogonal arrangement. There are eight semi regular tilings (or nine if the mirror image pair of tilings counts as two). These can be described by their vertex configuration; for example, a semi regular tiling using squares and regular octagons has the vertex configuration 4.82 (each vertex has one square and two octagons). Many non edge to edge tilings of the Euclidean plane are possible, including the family of Pythagorean tilings, tessellations that use two (parameterised) sizes of square, each square touching four squares of the other size. An edge tessellation is one in which each tile can be reflected over an edge to take up the position of a neighbouring tile, such as in an array of equilateral or isosceles triangles.

Группы обоев

Плитки с трансляционной симметрией в двух независимых направлениях могут быть классифицированы по группам обоев, которых существует 17. Утверждается, что все семнадцать этих групп представлены во дворце Альгамбра в Гранаде, Испания. Хотя это утверждение оспаривается, разнообразие и сложность плиток Альгамбры привлекли внимание современных исследователей. Из трех правильных плиток две относятся к группе обоев p6m, а одна – к группе p4m. Плитки в 2D с трансляционной симметрией только в одном направлении могут быть классифицированы по семи группам фризов, описывающим возможные узоры фризов. Орбифолдная нотация может быть использована для описания групп обоев евклидовой плоскости.

Апериодические плитки

Плитка Пенроуза, использующая два различных четырехугольных прототипа, является наиболее известным примером плитки, которая неизбежно создает непериодические узоры. Она относится к общему классу апериодических плиток, использующих плитки, не способные к периодической замощению плоскости. Рекурсивный процесс замещения плитки – это метод генерации апериодических плиток. Один из классов, который можно сгенерировать таким образом, – это реп-плитки; эти плитки обладают неожиданными свойствами самовоспроизведения. Плитки в виде спиралей непериодичны, используют конструкцию на основе реп-плиток; плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций. Можно было бы предположить, что непериодический узор полностью лишен симметрии, но это не так. Апериодические плитки, хотя и не обладают трансляционной симметрией, все же имеют симметрии других типов, благодаря бесконечному повторению любого ограниченного фрагмента замощения и в определенных конечных группах вращений или отражений этих фрагментов. Правило замещения, которое можно использовать для генерации узоров Пенроуза с помощью сборки плиток, называемых ромбами, иллюстрирует масштабную симметрию. Слово Фибоначчи можно использовать для построения апериодического замощения и для изучения квазикристаллов – структур с апериодическим порядком. Плитки Ванга – это квадраты, окрашенные по краям, расположенные таким образом, чтобы смежные края соседних плиток имели одинаковый цвет; поэтому их иногда называют домино Ванга. Подходящий набор домино Ванга может замостить плоскость, но только апериодически. Это известно, поскольку любую машину Тьюринга можно представить в виде набора домино Ванга, замощающего плоскость, тогда и только тогда, когда машина Тьюринга не останавливается. Поскольку проблема остановки неразрешима, проблема определения, может ли набор домино Ванга замостить плоскость, также неразрешима. Плитки Труше – это квадратные плитки, украшенные узорами, лишающими их вращательной симметрии; в 1704 году Себастьян Труше использовал квадратную плитку, разделенную на два треугольника контрастных цветов. Они могут замощать плоскость как периодически, так и случайным образом. Плитка Эйнштейна – это единственная форма, вынуждающая апериодическое замощение. Первая такая плитка, получившая название «шляпа», была обнаружена в 2023 году Дэвидом Смитом, математиком-любителем. Открытие находится на стадии профессиональной экспертизы и, после подтверждения, будет признано решением давней математической проблемы.

Penrose tilings, which use two different quadrilateral prototiles, are the best known example of tiles that forcibly create non periodic patterns. They belong to a general class of aperiodic tilings, which use tiles that cannot tessellate periodically. The recursive process of substitution tiling is a method of generating aperiodic tilings. One class that can be generated in this way is the rep tiles; these tilings have unexpected self replicating properties. Pinwheel tilings are non periodic, using a rep tile construction; the tiles appear in infinitely many orientations. It might be thought that a non periodic pattern would be entirely without symmetry, but this is not so. Aperiodic tilings, while lacking in translational symmetry, do have symmetries of other types, by infinite repetition of any bounded patch of the tiling and in certain finite groups of rotations or reflections of those patches. A substitution rule, such as can be used to generate Penrose patterns using assemblies of tiles called rhombs, illustrates scaling symmetry. A Fibonacci word can be used to build an aperiodic tiling, and to study quasicrystals, which are structures with aperiodic order. Wang tiles are squares coloured on each edge, and placed so that abutting edges of adjacent tiles have the same colour; hence they are sometimes called Wang dominoes. A suitable set of Wang dominoes can tile the plane, but only aperiodically. This is known because any Turing machine can be represented as a set of Wang dominoes that tile the plane if, and only if, the Turing machine does not halt. Since the halting problem is undecidable, the problem of deciding whether a Wang domino set can tile the plane is also undecidable. Truchet tiles are square tiles decorated with patterns so they do not have rotational symmetry; in 1704, Sébastien Truchet used a square tile split into two triangles of contrasting colours. These can tile the plane either periodically or randomly. An einstein tile is a single shape that forces aperiodic tiling. The first such tile, dubbed a "hat", was discovered in 2023 by David Smith, a hobbyist mathematician. The discovery is under professional review and, upon confirmation, will be credited as solving a longstanding mathematical problem.

Тесселяции и цвет

Иногда цвет плитки рассматривается как её неотъемлемая часть, а иногда произвольные цвета могут быть добавлены позднее. При обсуждении цветной мозаики, чтобы избежать неоднозначности, необходимо уточнять, являются ли цвета частью самой мозаики или только частью её изображения. Это влияет на то, считаются ли плитки одинаковой формы, но разного цвета, идентичными, что, в свою очередь, влияет на вопросы симметрии. Четырёхцветная теорема утверждает, что для любой замощения нормальной евклидовой плоскости, используя набор из четырёх доступных цветов, каждую плитку можно раскрасить одним цветом так, чтобы никакие две плитки одинакового цвета не соприкасались по кривой положительной длины. Раскраска, гарантированная четырёхцветной теоремой, как правило, не учитывает симметрии замощения. Чтобы получить раскраску, которая её учитывает, необходимо рассматривать цвета как часть самой мозаики. В этом случае может потребоваться до семи цветов, как показано на изображении слева.

Тесселяции с многоугольниками

Наряду с различными покрытиями, выполненными правильными многоугольниками, изучались также покрытия другими многоугольниками. Любой треугольник или четырехугольник (даже невыпуклый) может использоваться в качестве прототипа для формирования моноэдральной тесселяции, часто более чем одним способом. Копии произвольного четырехугольника могут образовывать тесселяцию с трансляционной симметрией и двукратной вращательной симметрией, центры которой расположены в серединах всех сторон. Для асимметричного четырехугольника эта тесселяция принадлежит к группе обоев p2. В качестве фундаментальной области выступает четырехугольник. Эквивалентно, можно построить параллелограмм, определяемый минимальным набором векторов переноса, начиная с центра вращения. Этот параллелограмм можно разделить одной диагональю и взять одну половину (треугольник) в качестве фундаментальной области. Такой треугольник имеет ту же площадь, что и четырехугольник, и может быть получен из него путем вырезания и склеивания. Если допускается только одна форма плитки, существуют покрытия с выпуклыми N-угольниками при N, равном 3, 4, 5 и 6. Для N=5 см. Пятиугольное покрытие, для N=6 см. Шестиугольное покрытие, для N=7 см. Семиугольное покрытие и для N=8 см. Восьмиугольное покрытие. При использовании невыпуклых многоугольников ограничений на количество сторон гораздо меньше, даже если разрешена только одна форма. Полимино — это примеры плиток, которые могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми, для которых различные комбинации, вращения и отражения могут быть использованы для покрытия плоскости. Результаты по покрытию плоскости полимино см. в разделе Полимино § Применение полимино.

Воронои

Вороновская или дирихлетовская разбиения — это разбиения на ячейки, где каждая ячейка определяется как множество точек, ближайших к одной из точек в дискретном наборе определяющих точек. (Представьте себе географические регионы, где каждый регион определяется как все точки, ближайшие к данному городу или почтовому отделению.) Вороновская ячейка для каждой определяющей точки является выпуклым многоугольником. Триангуляция Делоне — это разбиение на ячейки, являющееся двойственным графом вороновского разбиения. Триангуляции Делоне полезны в численном моделировании, поскольку среди всех возможных триангуляций определяющих точек они максимизируют минимальный угол, образованный ребрами. Вороновские разбиения со случайно расположенными точками могут быть использованы для построения случайных разбиений плоскости.

Тесселяции в более высоких измерениях

Тесселяция может быть расширена до трех измерений. Некоторые полиэдры могут быть уложены в регулярный кристаллический узор, чтобы заполнить (или покрыть) трехмерное пространство, включая куб (единственный платонический полиэдр, обладающий этим свойством), ромбический додекаэдр, усечённый октаэдр, а также треугольные, четырехугольные и шестиугольные призмы и другие. Любой полиэдр, соответствующий этому критерию, известен как плезиоэдр и может иметь от 4 до 38 граней. В природе ромбические додекаэдры встречаются в виде кристаллов андрадита (разновидность граната) и фторита. Тесселяции в трех или более измерениях называются сотовыми структурами. В трех измерениях существует только одна регулярная сотовая структура, в которой на каждой вершине полиэдра приходится восемь кубов. Аналогично, в трех измерениях существует только одна квазирегулярная сотовая структура, в которой на каждой вершине полиэдра приходится восемь тетраэдров и шесть октаэдров. Однако существует множество возможных полурегулярных сотовых структур в трех измерениях. Однородные сотовые структуры могут быть построены с использованием построения Витгоффа. Бипризма Шмитта — Конвея — это выпуклый полиэдр, обладающий свойством апериодического заполнения пространства. Треугольник Шварца — это сферический треугольник, который можно использовать для покрытия сферы.

Тесселяции в неевклидовой геометрии

Возможно построение тесселяций в неевклидовых геометриях, таких как гиперболическая геометрия. Однородная мозаика на гиперболической плоскости (которая может быть правильной, квазиправильной или полуправильной) – это покрытие гиперболической плоскости без зазоров и наложений, состоящее из правильных многоугольников; такие мозаики вершинно-транзитивны (транзитивны относительно своих вершин) и изогональны (существует изометрия, отображающая любую вершину на любую другую). Однородный гиперболический сотовидник – это однородная тесселяция однородными многогранными ячейками. В трехмерном (3D) гиперболическом пространстве существует девять семейств групп Коксетера компактных выпуклых однородных сотовидников, порожденных как построения Уайтхоффа и представленных перестановками циклов диаграмм Коксетера для каждого семейства.

В искусстве

В архитектуре тесселяции использовались для создания декоративных мотивов с древнейших времен. Мозаичные покрытия часто содержали геометрические узоры. Позднее цивилизации стали использовать и более крупные плитки, как простые, так и индивидуально украшенные. Одними из самых декоративных были мавританские настенные плитки исламской архитектуры, в которых использовались плитки Гирих и Зеллидж в таких сооружениях, как Альгамбра и Ла-Мескита. Тесселяции часто встречаются в графических работах М.К. Эшера; он был вдохновлен мавританским использованием симметрии в таких местах, как Альгамбра, во время своего визита в Испанию в 1936 году. Эшер создал четыре рисунка серии "Предел круга", использующие гиперболическую геометрию. Для своей гравюры "Предел круга IV" (1960) Эшер подготовил эскиз карандашом и тушью, демонстрирующий необходимую геометрию. Эшер объяснял, что "ни один элемент из всех рядов, которые из бесконечности взмывают вверх, подобно ракетам, перпендикулярно к пределу и в конечном итоге в нем растворяются, никогда не достигает границы". Тесселированные узоры часто встречаются на текстиле – тканях, сшитых или напечатанных с таким рисунком. Узоры тесселяции применялись для создания взаимосвязанных мотивов из лоскутов в лоскутных одеялах. Тесселяции также являются одним из основных жанров в оригами (искусстве складывания бумаги), где складки используются для соединения элементов, таких как спиральные складки, в повторяющейся последовательности.

В производстве

Тесселяция используется в производственной промышленности для снижения отходов материала (потерь выхода годной продукции), например, при раскрое листового металла для изготовления деталей, таких как автомобильные двери или банки для напитков. Тесселяция наблюдается в трещинообразовании тонких плёнок, напоминающем высохшую глину, при этом с использованием микро- и нанотехнологий отмечается определённая степень самоорганизации.

В природе

Медовый пласт является хорошо известным примером тесселяции в природе с его шестиугольными ячейками. В ботанике термин "тесселят" описывает клетчатый рисунок, например, на лепестке цветка, коре дерева или плоде. Цветы, включая фритиллярию и некоторые виды Colchicum, характерно демонстрируют тесселяцию. Многие узоры в природе образуются из-за трещин в слоях материалов. Эти узоры можно описать с помощью тесселяций Гилберта, также известных как случайные сети трещин. Тесселяция Гилберта – это математическая модель образования трещин в глине, игольчатых кристаллов и подобных структур. Модель, названная в честь Эдгара Гилберта, позволяет трещинам формироваться, начиная со случайного рассеяния по плоскости; каждая трещина распространяется в двух противоположных направлениях вдоль линии, проходящей через точку инициации, ее наклон выбирается случайным образом, создавая тесселяцию из неправильных выпуклых многоугольников. Базальтовые лавовые потоки часто демонстрируют столбчатое разделение в результате сил сжатия, вызывающих трещины при охлаждении лавы. Обширные сети трещин, которые развиваются, часто приводят к образованию шестиугольных лавовых колонн. Одним из примеров такого массива колонн является Гигантский переулок в Северной Ирландии. Тесселлированный тротуар, характерный пример которого находится в районе Eaglehawk Neck на Тасманском полуострове Тасмании, представляет собой редкое осадочное горное образование, где порода раскололась на прямоугольные блоки. Другие природные узоры встречаются в пенах; они упакованы в соответствии с законами Плато, которые требуют минимальных поверхностей. Такие пены ставят задачу о том, как упаковать ячейки максимально плотно: в 1887 году лорд Кельвин предложил упаковку, используя только одно тело, усечённый куб с очень слегка изогнутыми гранями. В 1993 году Денис Вир и Роберт Фелан предложили структуру Вир-Фелана, которая использует меньшую площадь поверхности для разделения ячеек равного объема, чем пена Кельвина.

В головоломках и математике для развлечения

Тесселяции породили множество типов головоломок, от традиционных пазлов (с нерегулярными деталями из дерева или картона) и танграмма до более современных головоломок, которые часто имеют математическую основу. Например, полиамонды и полиомино — фигуры, состоящие из правильных треугольников и квадратов, часто используемые в головоломках с покрытием. Авторы, такие как Генри Дюденей и Мартин Гарднер, широко использовали тесселяции в рекреационной математике. Например, Дюденей изобрел разрезание с шарнирами, а Гарднер писал о "реп-тайле" — фигуре, которую можно разделить на меньшие копии самой себя. Вдохновленная статьями Гарднера в журнале Scientific American, математик-любитель Марджори Райс обнаружила четыре новые тесселяции с использованием пятиугольников. Задача "квадратура квадрата" заключается в покрытии квадрата целого размера (с целыми длинами сторон) только другими квадратами целого размера. Обобщением этой задачи является квадратура плоскости — покрытие плоскости квадратами, размеры которых являются натуральными числами без повторений; Джеймс и Фредерик Хенле доказали, что это возможно.