Кіріспе
Ортогоналды полиномиалдардың түрі
Математикада классикалық ортогоналды полиномиалдар – ең көп қолданылатын ортогоналды полиномиалдар: Гермит полиномиалдары, Лагерр полиномиалдары, Якоби полиномиалдары (оның ішінде ерекше жағдай ретінде Гегенбауэр полиномиалдары, Чебышев полиномиалдары және Лежандр полиномиалдары). Олар математикалық физика (әсіресе, кездейсоқ матрицалар теориясы), жуықтау теориясы, сандық талдау және тағы да көптеген салаларда маңызды қолданымдарға ие. Классикалық ортогоналды полиномиалдар 19-шы ғасырдың басында Адриен Мари Лежандрдың еңбектерінде пайда болды, ол Лежандр полиномиалдарын енгізді. 19-шы ғасырдың соңында П. Л. Чебышев, содан кейін А. А. Марков және Т. Дж. Стильджес моменттік мәселені шешу үшін үздіксіз бөлшектерді зерттеу арқылы ортогоналды полиномиалдардың жалпы түсінігіне әкелді. Берілген полиномиалдар және үшін классикалық ортогоналды полиномиалдар анықталатын тұрақтылары бар дифференциалдық теңдеудің шешімдері болып табылады. Ортогоналды классикалық полиномиалдардың бірнеше жалпы анықтамалары бар; мысалы, Аскей схемасындағы барлық полиномиалдар үшін термин қолданылады.
In mathematics, the classical orthogonal polynomials are the most widely used orthogonal polynomials: the Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials (including as a special case the Gegenbauer polynomials, Chebyshev polynomials, and Legendre polynomials). They have many important applications in such areas as mathematical physics (in particular, the theory of random matrices), approximation theory, numerical analysis, and many others. Classical orthogonal polynomials appeared in the early 19th century in the works of Adrien Marie Legendre, who introduced the Legendre polynomials. In the late 19th century, the study of continued fractions to solve the moment problem by P. L. Chebyshev and then A. A. Markov and T. J. Stieltjes led to the general notion of orthogonal polynomials. For given polynomials and the classical orthogonal polynomials are characterized by being solutions of the differential equation
with to be determined constants
There are several more general definitions of orthogonal classical polynomials; for example, use the term for all polynomials in the Askey scheme.
Классикалық ортогональды көптіктердің сипаттамасы
Классикалық ортогональды көпмүшелерді басқалардан ерекшелейтін бірнеше шарт бар. Бірінші шартты Сонин (кейіннен Хан) тапты, ол (айнымалының сызықтық түрлендірулеріне дейін) классикалық ортогональды көпмүшелердің туындылары да ортогональды көпмүшелер болатынын көрсетті. Бохнер классикалық ортогональды көпмүшелерді олардың рекурренттік қатынастары арқылы сипаттады. Трикоми классикалық ортогональды көпмүшелерді Родригес формуласының белгілі бір аналогына ие болып табылатындар ретінде сипаттады.
Классикалық ортогональды көптіктердің кестесі
Келесі кесте классикалық ортогональды көпмүшелердің қасиеттерін жинақтайды. Атауы және әдеттегі символы: Чебышев, Чебышев (екінші түрі), Лежандр, Эрмит. Ортогоналдылық шектері, Салмағы, Стандарттау, Бас мүшесі, Норманың квадраты, Бас мүшесі, Екінші мүшесі, Дифференциал теңдеуіндегі тұрақты, Родригес формуласындағы тұрақты, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы.
Атауы және конвенциялық символы: Қатысты Лагерр, Лагерр. Ортогоналдылық шектері, Салмағы, Стандарттау, Бас мүшесі, Бас мүшесі, Норманың квадраты, Бас мүшесі, Екінші мүшесі, Дифференциал теңдеуіндегі тұрақты, Родригес формуласындағы тұрақты, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы.
Атауы және конвенциялық символы: Генбауэр, Якоби. Ортогоналдылық шектері, Салмағы, Стандарттау, егер, Норманың квадраты, Бас мүшесі, Екінші мүшесі, Дифференциал теңдеуіндегі тұрақты, Родригес формуласындағы тұрақты, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы, Қайталану қатынасы.