Введение
Тип ортогональных полиномов
In mathematics, the classical orthogonal polynomials are the most widely used orthogonal polynomials: the Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials (including as a special case the Gegenbauer polynomials, Chebyshev polynomials, and Legendre polynomials). They have many important applications in such areas as mathematical physics (in particular, the theory of random matrices), approximation theory, numerical analysis, and many others. Classical orthogonal polynomials appeared in the early 19th century in the works of Adrien Marie Legendre, who introduced the Legendre polynomials. In the late 19th century, the study of continued fractions to solve the moment problem by P. L. Chebyshev and then A. A. Markov and T. J. Stieltjes led to the general notion of orthogonal polynomials. For given polynomials and the classical orthogonal polynomials are characterized by being solutions of the differential equation
with to be determined constants
There are several more general definitions of orthogonal classical polynomials; for example, use the term for all polynomials in the Askey scheme.
В математике классические ортогональные полиномы – это наиболее широко используемые ортогональные полиномы: полиномы Эрмита, полиномы Лагера, полиномы Якоби (включая в качестве частного случая полиномы Гегенбауэра, полиномы Чебышёва и полиномы Лежандра). Они имеют множество важных применений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайных матриц), теория аппроксимаций, численный анализ и многие другие. Классические ортогональные полиномы возникли в начале XIX века в работах Адриена Мари Лежандра, который ввёл полиномы Лежандра. В конце XIX века изучение непрерывных дробей для решения задачи моментов П. Л. Чебышёвым, а затем А. А. Марковым и Т. Й. Стильтьесом привело к общему понятию ортогональных полиномов. Для заданных полиномов и классические ортогональные полиномы характеризуются тем, что они являются решениями дифференциального уравнения
In mathematics, the classical orthogonal polynomials are the most widely used orthogonal polynomials: the Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials (including as a special case the Gegenbauer polynomials, Chebyshev polynomials, and Legendre polynomials). They have many important applications in such areas as mathematical physics (in particular, the theory of random matrices), approximation theory, numerical analysis, and many others. Classical orthogonal polynomials appeared in the early 19th century in the works of Adrien Marie Legendre, who introduced the Legendre polynomials. In the late 19th century, the study of continued fractions to solve the moment problem by P. L. Chebyshev and then A. A. Markov and T. J. Stieltjes led to the general notion of orthogonal polynomials. For given polynomials and the classical orthogonal polynomials are characterized by being solutions of the differential equation
with to be determined constants
There are several more general definitions of orthogonal classical polynomials; for example, use the term for all polynomials in the Askey scheme.
с определяемыми константами. Существуют несколько более общих определений ортогональных классических полиномов; например, термин используется для всех полиномов в схеме Аскея.
In mathematics, the classical orthogonal polynomials are the most widely used orthogonal polynomials: the Hermite polynomials, Laguerre polynomials, Jacobi polynomials (including as a special case the Gegenbauer polynomials, Chebyshev polynomials, and Legendre polynomials). They have many important applications in such areas as mathematical physics (in particular, the theory of random matrices), approximation theory, numerical analysis, and many others. Classical orthogonal polynomials appeared in the early 19th century in the works of Adrien Marie Legendre, who introduced the Legendre polynomials. In the late 19th century, the study of continued fractions to solve the moment problem by P. L. Chebyshev and then A. A. Markov and T. J. Stieltjes led to the general notion of orthogonal polynomials. For given polynomials and the classical orthogonal polynomials are characterized by being solutions of the differential equation
with to be determined constants
There are several more general definitions of orthogonal classical polynomials; for example, use the term for all polynomials in the Askey scheme.
Характеристики классических ортогональных многочленов
Существует несколько условий, отличающих классические ортогональные полиномы от других. Первое условие было установлено Сониным (а позднее Ханом), который показал, что (с точностью до линейного преобразования переменной) классические ортогональные полиномы – единственные, для которых их производные также являются ортогональными полиномами. Бохнер охарактеризовал классические ортогональные полиномы через их рекуррентные соотношения. Трикоми охарактеризовал классические ортогональные полиномы как те, которые обладают определенным аналогом формулы Родригеса.
Таблица классических ортогональных многочленов
В следующей таблице суммированы свойства классических ортогональных многочленов. Название и общепринятый символ Чебышев, Чебышев (второго рода), Лежандр, Эрмит, Пределы ортогональности Вес, Стандартизация Старший член Квадрат нормы Старший член Второй член, Константа в дифференциальном уравнении, Константа в формуле Родригеса, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции,
Название и общепринятый символ Ассоциированные Лаггера, Лаггер, Пределы ортогональности Вес, Стандартизация Старший член Старший член Квадрат нормы, Старший член, Второй член, Константа в дифференциальном уравнении, Константа в формуле Родригеса, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции,
Название и общепринятый символ Гегенбауэр, Якоби, Пределы ортогональности Вес, Стандартизация Если Квадрат нормы, Старший член, Второй член, Константа в дифференциальном уравнении, Константа в формуле Родригеса, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции, Соотношение рекурренции,