Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жайық су бетіндегі толқындардың математикалық моделі
Mathematical model of waves on a shallow water surface
Математикада Кортевег-Де-Вриес (KdV) теңдеуі – жарым дифференциалдық теңдеу (PDE), ол жайық су бетіндегі толқындардың математикалық моделі болып табылады. Бұл интегралданатын PDE-нің классикалық мысалы ретінде ерекше атақты және интегралданатын PDE-ге тән көптеген қасиеттерді көрсетеді, мысалы, көптеген нақты шешімдер, әсіресе солитондық шешімдер, және шексіз көп сақталатын шамалар. Бұл, әдетте PDE-лерді шешуді қиындататын сызықтық емес болуына қарамастан осылай. KdV теңдеуі кері шашырау әдісі (ISM) арқылы шешіледі. Шындығында, Гарднер, Грин, Крускал және Миура KdV теңдеуін шешу үшін классикалық кері шашырау әдісін жасады. KdV теңдеуін алғаш рет енгізген және қайтадан ашқан , ең қарапайым шешімін – бір солитондық шешімді тапты. Теңдеуді және оның шешімдерінің мінез-құлқын түсіну 1965 жылы Забуски мен Крускалдың компьютерлік моделеуі, содан кейін 1967 жылы кері шашырау трансформациясының дамуы арқасында одан әрі жетілді.
In mathematics, the Korteweg–De Vries (KdV) equation is a partial differential equation (PDE) which serves as a mathematical model of waves on shallow water surfaces. It is particularly notable as the prototypical example of an integrable PDE and exhibits many of the expected behaviors for an integrable PDE, such as a large number of explicit solutions, in particular soliton solutions, and an infinite number of conserved quantities, despite the nonlinearity which typically renders PDEs intractable. The KdV can be solved by the inverse scattering method (ISM). In fact, Gardner, Greene, Kruskal and Miura developed the classical inverse scattering method to solve the KdV equation. The KdV equation was first introduced by and rediscovered by , who found the simplest solution, the one soliton solution. Understanding of the equation and behavior of solutions was greatly advanced by the computer simulations of Zabusky and Kruskal in 1965 and then the development of the inverse scattering transform in 1967.
Ұзақ уақыт бойы асимптотика
Кез келген жеткілікті түрде жылдам ыдырайтын тегіс шешім, соңында оңға қарай қозғалатын солитонның шекті суперпозициясына және солға қарай ыдырайтын дисперсиялық бөлігіне бөлінетінін көрсетуге болады. Бұл алғаш рет байқалды және тербелісті Риманн-Хилберт проблемалары үшін сызықтық емес ең тік төмен түсу талдауын қолдана отырып қатаң түрде дәлелденді.
It can be shown that any sufficiently fast decaying smooth solution will eventually split into a finite superposition of solitons travelling to the right plus a decaying dispersive part travelling to the left. This was first observed by and can be rigorously proven using the nonlinear steepest descent analysis for oscillatory Riemann–Hilbert problems.
Тарих
KdV теңдеуінің тарихы 1834 жылы Джон Скотт Расселдің жүргізген эксперименттерімен басталды, одан кейін 1870 жылдары Лорд Рейли мен Джозеф Буссинесктің теориялық зерттеулері, ал 1895 жылы Кортевег пен Де Врис жұмыстары жарияланды. KdV теңдеуі оның шешімдерінің үлкен уақыт аралығында "солитон" деп аталатын жиынға ыдырайтыны сандық түрде анықталғанға дейін көп зерттелмеді: жақсы ажыратылған жалғыз толқындар. Бұған қоса, солитон бір-бірі арқылы өтетін кезде пішініне ешқандай өзгеріс енбейді (бірақ бұл олардың орналасуын өзгертуі мүмкін). Олар бұрынғы Ферми, Паста, Улам және Цингудың сандық тәжірибелерімен де байланыс орнатты, KdV теңдеуінің FPUT жүйесінің үздіксіз шегі екенін көрсетті. 1967 жылы Гарднер, Грин, Крускал және Миура кері шашырату түрлендіруі арқылы талдаулық шешімді жасады. Қазіргі кезде KdV теңдеуі Гюйгенс принципімен тығыз байланысты екені анықталды.
The history of the KdV equation started with experiments by John Scott Russell in 1834, followed by theoretical investigations by Lord Rayleigh and Joseph Boussinesq around 1870 and, finally, Korteweg and De Vries in 1895. The KdV equation was not studied much after this until discovered numerically that its solutions seemed to decompose at large times into a collection of "solitons": well separated solitary waves. Moreover, the solitons seems to be almost unaffected in shape by passing through each other (though this could cause a change in their position). They also made the connection to earlier numerical experiments by Fermi, Pasta, Ulam, and Tsingou by showing that the KdV equation was the continuum limit of the FPUT system. Development of the analytic solution by means of the inverse scattering transform was done in 1967 by Gardner, Greene, Kruskal and Miura. The KdV equation is now seen to be closely connected to Huygens' principle.