Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Математическая модель волн на поверхности мелководной воды
Mathematical model of waves on a shallow water surface
В математике уравнение Кортевега — де Вриса (KdV) является частным дифференциальным уравнением (ПДУ), которое служит математической моделью волн на поверхности мелководной воды. Оно особенно примечательно как прототипичный пример интегрируемого ПДУ и демонстрирует многие ожидаемые свойства для интегрируемых ПДУ, такие как большое количество явных решений, в частности, солитонных решений, и бесконечное число сохраняющихся величин, несмотря на нелинейность, которая обычно делает ПДУ трудноразрешимыми. Уравнение KdV может быть решено методом обратного рассеяния (ISM). Фактически, Гарднер, Грин, Крускал и Миура разработали классический метод обратного рассеяния для решения уравнения KdV. Уравнение KdV было впервые введено и повторно открыто , который нашёл самое простое решение – односолитонное решение. Понимание уравнения и поведения решений было значительно углублено благодаря компьютерному моделированию Забуски и Крускаля в 1965 году, а затем разработке преобразования обратного рассеяния в 1967 году.
In mathematics, the Korteweg–De Vries (KdV) equation is a partial differential equation (PDE) which serves as a mathematical model of waves on shallow water surfaces. It is particularly notable as the prototypical example of an integrable PDE and exhibits many of the expected behaviors for an integrable PDE, such as a large number of explicit solutions, in particular soliton solutions, and an infinite number of conserved quantities, despite the nonlinearity which typically renders PDEs intractable. The KdV can be solved by the inverse scattering method (ISM). In fact, Gardner, Greene, Kruskal and Miura developed the classical inverse scattering method to solve the KdV equation. The KdV equation was first introduced by and rediscovered by , who found the simplest solution, the one soliton solution. Understanding of the equation and behavior of solutions was greatly advanced by the computer simulations of Zabusky and Kruskal in 1965 and then the development of the inverse scattering transform in 1967.
Длительное асимптотическое состояние
Можно показать, что любое достаточно быстро убывающее гладкое решение со временем распадется на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и убывающую дисперсионную часть, движущуюся влево. Это было впервые обнаружено и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа крутого спуска для осциллирующих задач Римана — Гильберта.
It can be shown that any sufficiently fast decaying smooth solution will eventually split into a finite superposition of solitons travelling to the right plus a decaying dispersive part travelling to the left. This was first observed by and can be rigorously proven using the nonlinear steepest descent analysis for oscillatory Riemann–Hilbert problems.
История
История уравнения KdV началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Джозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и Де Вриса в 1895 году. После этого уравнение KdV долгое время оставалось без особого внимания, пока численно не было обнаружено, что его решения при больших временах, по-видимому, распадаются на набор "солитонов" – хорошо разделенных солитарных волн. Более того, солитоны, по-видимому, практически не меняют свою форму при прохождении друг сквозь друга (хотя это может приводить к изменению их положения). Также была установлена связь с более ранними численными экспериментами Ферми, Пасты, Улама и Цингу, показав, что уравнение KdV является пределом континуума системы FPUT. Аналитическое решение посредством обратного преобразования рассеяния было разработано в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миура. В настоящее время уравнение KdV рассматривается как тесно связанное с принципом Гюйгенса.
The history of the KdV equation started with experiments by John Scott Russell in 1834, followed by theoretical investigations by Lord Rayleigh and Joseph Boussinesq around 1870 and, finally, Korteweg and De Vries in 1895. The KdV equation was not studied much after this until discovered numerically that its solutions seemed to decompose at large times into a collection of "solitons": well separated solitary waves. Moreover, the solitons seems to be almost unaffected in shape by passing through each other (though this could cause a change in their position). They also made the connection to earlier numerical experiments by Fermi, Pasta, Ulam, and Tsingou by showing that the KdV equation was the continuum limit of the FPUT system. Development of the analytic solution by means of the inverse scattering transform was done in 1967 by Gardner, Greene, Kruskal and Miura. The KdV equation is now seen to be closely connected to Huygens' principle.