Ықтималдық кеңістіктеріндегі теңсіздік (немесе Бульдің теңсіздігі)
Boole's inequality
Ықтималдық теориясында Буль теңсіздігі – оқиғалардың жиынтығының ықтималдығы, жеке оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан артық болмайды. Математикалық тұжырымдама.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Ықтималдық кеңістіктеріне қатысты теңсіздік
Inequality applying to probability spaces
Ықтималдықтар теориясында Бульдің теңсіздігі, сондай-ақ біріктіру шегі деп те аталады, кез келген шекті немесе санаулы оқиғалар жиыны үшін оқиғалардың кем дегенде біреуінің орын алуының ықтималдығы жеке оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысынан артық болмайды. Бұл теңсіздік оқиғалардың жеке ықтималдықтары арқылы санаулы оқиғалардың кем дегенде біреуінің орын алу ықтималдығының жоғарғы шегін береді. Бульдің теңсіздігі оны ашқан Джордж Бульдің құрметіне аталған. Формальды түрде, A1, A2, A3, ... сияқты санаулы оқиғалар жиыны үшін, бізде бар.
In probability theory, Boole's inequality, also known as the union bound, says that for any finite or countable set of events, the probability that at least one of the events happens is no greater than the sum of the probabilities of the individual events. This inequality provides an upper bound on the probability of occurrence of at least one of a countable number of events in terms of the individual probabilities of the events. Boole's inequality is named for its discoverer, George Boole. Formally, for a countable set of events A1, A2, A3, , we have
Өлшемдер теориясы тұрғысынан қарағанда, Бульдің теңсіздігі өлшемнің (әрине, кез келген ықтималдық өлшем) σ-қосымша екендігінен туындайды.
In measure theoretic terms, Boole's inequality follows from the fact that a measure (and certainly any probability measure) is σ sub additive.
Мысал
Кездейсоқ үлгіге негізделген 5 параметрді бағалаймыз делік, әрбір параметрді жеке-жеке бақылай аламыз. Егер сіз барлық бес параметрдің бағалауларын 95% ықтималдықпен жақсы деп санағыңыз келсе, әрбір параметрге не істеу керек? Әрбір параметрдің жақсы болу мүмкіндігін 95%-ға дейін түзету жеткіліксіз, себебі "барлығы жақсы" жағдайы, "i-інші бағалау жақсы" жағдайының кіші жиыны болып табылады. Бұл мәселені шешу үшін Буль теңсіздігін қолданамыз. "Барлығы жақсы" жағдайының керісін тауып, сұрақты басқаша тұжырымдай аламыз:
Suppose that you are estimating 5 parameters based on a random sample, and you can control each parameter separately. If you want your estimations of all five parameters to be good with a chance 95%, what should you do to each parameter? Tuning each parameter's chance to be good to within 95% is not enough because "all are good" is a subset of each event "Estimate i is good". We can use Boole's Inequality to solve this problem. By finding the complement of event "all five are good", we can change this question into another condition:
P(кем дегенде бір бағалау нашар) = 0.05 ≤ P(A1 нашар) + P(A2 нашар) + P(A3 нашар) + P(A4 нашар) + P(A5 нашар)
P( at least one estimation is bad) = 0.05 ≤ P( A1 is bad) + P( A2 is bad) + P( A3 is bad) + P( A4 is bad) + P( A5 is bad)
Бір жолы – олардың әрқайсысын 0.05/5 = 0.01, яғни 1%-ға тең ету. Басқаша айтқанда, жалпы бағалаудың 95% ықтималдықпен жақсы болуын қамтамасыз ету үшін, әрбір бағалаудың 99% жақсы екеніне кепілдік беру қажет (мысалы, 99% сенімділік интервалын құрастыру арқылы). Бұл бір мезгілдегі қорытындылаудың Бонферрони әдісі деп аталады.
One way is to make each of them equal to 0.05/5 = 0.01, that is 1%. In another word, you have to guarantee each estimate good to 99%( for example, by constructing a 99% confidence interval) to make sure the total estimation to be good with a chance 95%. This is called the Bonferroni Method of simultaneous inference.