Введение

Неравенство, применимое к пространствам вероятностей

В теории вероятностей неравенство Буля, также известное как объединение границ, утверждает, что для любого конечного или счетного множества событий вероятность наступления хотя бы одного из событий не превышает сумму вероятностей отдельных событий. Это неравенство предоставляет верхнюю границу для вероятности наступления хотя бы одного из счетного числа событий, выраженную через индивидуальные вероятности этих событий. Неравенство Буля названо в честь его первооткрывателя, Джорджа Буля. Формально, для счетного множества событий A1, A2, A3, …, имеем:

В терминах теории меры неравенство Буля следует из того факта, что мера (и, в частности, любая мера вероятности) является σ-суб-аддитивной.

Пример

Предположим, вы оцениваете 5 параметров на основе случайной выборки, и вы можете контролировать каждый параметр отдельно. Если вы хотите, чтобы оценки всех пяти параметров были точными с вероятностью 95%, что нужно сделать с каждым параметром? Установка вероятности точности каждой оценки в 95% недостаточно, поскольку событие "все оценки точны" является подмножеством каждого события "оценка i точна". Для решения этой задачи можно использовать неравенство Буля. Найдя дополнение к событию "все пять оценок точны", мы можем преобразовать вопрос в следующее условие:

P(хотя бы одна оценка неточна) = 0,05 ≤ P(A1 неточна) + P(A2 неточна) + P(A3 неточна) + P(A4 неточна) + P(A5 неточна)

Один из способов – сделать вероятность неточности каждой оценки равной 0,05/5 = 0,01, то есть 1%. Иными словами, необходимо гарантировать, что каждая оценка будет точной с вероятностью 99% (например, путем построения 99% доверительного интервала), чтобы обеспечить общую точность оценок с вероятностью 95%. Это называется методом Бонферрони для одновременного вывода.