Кіріспе
Өлшем теориясындағы теорема. Өлшем теориясында Лебегтің басымды жинақталу теоремасы функциялар тізбегінің дерлік әр жерде жинақталуы L1 нормасында жинақталуға алып келетін жеткілікті шарттарды береді. Оның күші және пайдалылығы – Лебег интеграциясының Риман интеграциясынан басты теориялық артықшылықтарының екеуі. Математикалық талдау және дербес дифференциалдық теңдеулерде жиі кездесуден басқа, бұл теорема ықтималдық теориясында да кеңінен қолданылады, себебі ол кездейсоқ шамалардың математикалық күтілімдерінің жинақталуы үшін жеткілікті шартты қамтамасыз етеді.
In measure theory, Lebesgue's dominated convergence theorem provides sufficient conditions under which almost everywhere convergence of a sequence of functions implies convergence in the L1 norm. Its power and utility are two of the primary theoretical advantages of Lebesgue integration over Riemann integration. In addition to its frequent appearance in mathematical analysis and partial differential equations, it is widely used in probability theory, since it gives a sufficient condition for the convergence of expected values of random variables.
Алдын ала болжамдарды талқылау
Тізбеде кейбір интегралдауға болатын g функциясы басым екен деген болжамнан бас тартуға болмайды. Мұны былай қарастыруға болады: x-ті (0, 1/n] аралығында және басқа жағдайда анықтаңыз. Тізбекті басым ететін кез келген g функциясы, нүктелік жоғарғы шегін де басым етуі керек. Гармониялық қатардың дивергенциялануынан келіп, Лебег интегралының монотондығы [0,1] аралығында тізбекті басым ететін интегралдауға болатын функцияның жоқтығын көрсетеді. Тікелей есептеу, интегралдау мен нүктелік шектің осы тізбек үшін алмасу ережесіне бағынбайтынын көрсетеді: себебі тізбектің нүктелік шегі нөлдік функция. (fn) тізбегі тіпті біркелкі интегралдауға да жатпайды, сондықтан Виталидің жинақталу теоремасы да қолданылмайды.
by the divergence of the harmonic series. Hence, the monotonicity of the Lebesgue integral tells us that there exists no integrable function which dominates the sequence on [0,1]. A direct calculation shows that integration and pointwise limit do not commute for this sequence:
because the pointwise limit of the sequence is the zero function. Note that the sequence (fn) is not even uniformly integrable, hence also the Vitali convergence theorem is not applicable.
Шекті конвергенция теоремасы
Доминантты конвергенция теоремасының бір салдары – шектелген конвергенция теоремасы. Ол (fn) тізбегінің шектелген өлшем кеңістігінде (S, Σ, μ) (яғни μ(S) шекті) f функциясына нүктелік түрде жақындасатынын, ал f функциясы интегралданатынын айтады.
Ескерту: Тізбектің нүктелік жақындасуы мен біркелкі шектелуі тек μ-ге дерлік барлық жерде орындалуы мүмкін, егер өлшем кеңістігі (S, Σ, μ) толық болса немесе f функциясы μ-ге дерлік барлық жерде болатын нүктелік лимитпен μ-ге дерлік барлық жерде сәйкес келетін өлшенетін функция ретінде таңдалса.
Дәлел
Рет тізбегі біркелкі шектелгендіктен, барлық x ∈ S және барлық n үшін нақты сан M табылады. Барлық x ∈ S үшін анықтаңыз. Содан кейін тізбек g функциясымен үстемдік етеді. Әрі, g интегралданады, себебі ол шекті өлшемді жиынтықта тұрақты функция. Сондықтан, нәтиже үстемді жинақталу теоремасынан шығады. Егер шарттар тек μ дерлік барлық жерде орындалса, онда μ нөлдік жиынтығы N ∈ Σ бар, сонда fn1S\N функциялары S жиынының барлық жерінде шарттарды қанағаттандырады.
Lp кеңістіктеріндегі басым конвергенция (сопайы)
Кеңістік өлшемді болсын, нақты сан және өлшенетін функциялардың тізбегі болсын. Тізбек дерлік барлық жерде өлшенетін функцияға жиналады деп есептейік, және ол функциясымен шектеледі (Lp кеңістігіне қараңыз), яғни, кез келген натурал сан үшін: , μ дерлік барлық жерде. Онда барлық және Lp кеңістігінде болады, ал тізбек -қа Lp мағынасында жиналады, яғни:
Assume the sequence converges almost everywhere to an measurable function , and is dominated by a (cf. Lp space), i. e., for every natural number we have: , μ almost everywhere. Then all as well as are in and the sequence converges to in the sense of , i. e.:
Дәлелдеу идеясы: Бастапқы теореманы функциялар тізбегіне және шектеуші функциясына қолдану.
Ұзартулар
Доминантты конвергенция теоремасы Банах кеңістігіндегі мәндері бар өлшенетін функцияларға да қолданылады, мұнда басым функция бұрынғыдай теріс емес және интегралданатын болады. Дерлік әр жерде жуысу шартын тек өлшем бойынша жуысу шартына дейін әлсіретуге болады. Доминантты конвергенция теоремасы шартты күтулерге де қолданылады.