Введение

Теорема в теории меры
В теории меры теорема о мажорированной сходимости Лебега предоставляет достаточные условия, при которых почти всюду сходимость последовательности функций влечет сходимость в норме L1. Её сила и полезность – два из основных теоретических преимуществ интеграла Лебега перед интегралом Римана. Помимо частого использования в математическом анализе и уравнениях в частных производных, она широко применяется в теории вероятностей, поскольку даёт достаточное условие для сходимости математических ожиданий случайных величин.

Обсуждение предположений

Нельзя обойтись без предположения, что последовательность доминируется некоторой интегрируемой функцией g. Это можно увидеть следующим образом: определим для x в интервале (0, 1/n] и иначе. Любая функция g, доминирующая над последовательностью, должна также доминировать над поточечным супремумом. Заметим, что

в силу расходимости гармонического ряда. Следовательно, монотонность интеграла Лебега говорит нам о том, что не существует интегрируемой функции, доминирующей над последовательностью на [0,1]. Прямой расчет показывает, что интегрирование и поточечный предел не перестановочны для этой последовательности:

потому что поточечный предел последовательности – нулевая функция. Обратите внимание, что последовательность (fn) даже не является равномерно интегрируемой, следовательно, теорема Витали о сходимости также неприменима.

Теорема о ограниченной конвергенции

Одним из следствий теоремы о доминирующей сходимости является теорема об ограниченной сходимости, которая утверждает, что если (fn) — последовательность равномерно ограниченных комплекснозначных измеримых функций, сходящаяся поточечно на пространстве с конечной мерой (S, Σ, μ) (то есть таком, в котором μ(S) конечно) к функции f, то предел f является интегрируемой функцией и

Замечание: Поточечная сходимость и равномерная ограниченность последовательности могут быть ослаблены до выполнения почти всюду по μ, при условии, что пространство с мерой (S, Σ, μ) является полным или f выбрана как измеримая функция, совпадающая почти всюду по μ с почти всюду существующим поточечным пределом.

Доказательство

Поскольку последовательность равномерно ограничена, существует вещественное число M, такое что для всех x ∈ S и для всех n. Определим g(x) = M для всех x ∈ S. Тогда последовательность доминируется функцией g. Более того, g интегрируема, поскольку это постоянная функция на множестве конечной меры. Следовательно, результат следует из теоремы о доминирующей сходимости. Если предположения выполняются только почти всюду относительно меры μ, то существует множество меры нуль N ∈ Σ, такое что функции fn1S\N удовлетворяют предположениям всюду на S.

Доминирующая конвергенция в пространствах Lp (последовательность)

Пусть $(X, \Sigma, \mu)$ — пространство с мерой, $\alpha$ — действительное число, а $\{f_n\}$ — последовательность измеримых функций на $X$. Предположим, что последовательность $\{f_n\}$ сходится почти всюду к измеримой функции $f$, и доминируется функцией $g$ (см. $L^p$-пространство), то есть для каждого натурального числа $n$ имеем: $|f_n| \le g$ почти всюду относительно $\mu$. Тогда все $f_n$, как и $f$, принадлежат $L^p$, и последовательность $\{f_n\}$ сходится к $f$ в смысле $L^p$, то есть:

Идея доказательства: Применить исходную теорему к последовательности функций $\{f_n\}$ с доминирующей функцией $g$.

Расширения

Доминирующая теорема сходимости применима также к измеримым функциям со значениями в пространстве Банаха, при этом доминирующая функция остаётся неотрицательной и интегрируемой, как указано выше. Требование сходимости почти всюду можно ослабить, потребовав лишь сходимости в мере. Доминирующая теорема сходимости также применима к условным математическим ожиданиям.