Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада Коломбо алгебрасы – Шварц үлестірілімдері кеңістігін қамтитын нақты бір алгебра. Классикалық үлестіру теориясында үлестірулердің жалпы көбейтілуі мүмкін емес, бірақ Коломбо алгебралары осыған қатаң негіз береді. Үлестірулердің мұндай көбейтілуі ұзақ уақыт бойы Л. Шварцтың мүмкін еместік нәтижесіне байланысты мүмкін емес деп есептелді, ол негізінен үлестірулер кеңістігін қамтитын және үздіксіз функциялардың көбейтіндісін сақтайтын дифференциалдық алгебраның болуы мүмкін емес екенін көрсетеді. Дегенмен, егер тек тегіс функциялардың көбейтіндісін сақтау қажет болса, онда мұндай құрылым мүмкін болады, бұл алғаш рет Коломбо көрсетті. Математикалық құрал ретінде Коломбо алгебралары сингулярлықтарды, дифференциацияны және сызықты емес операцияларды бір шеңберде біріктіре отырып, үлестіру теориясының шектеулерін жояды. Осы уақытқа дейін бұл алгебралар дербес дифференциалдық теңдеулер, геофизика, микролокалды талдау және жалпы салыстырмалылық теориясы салаларында көптеген қолданыс тапты. Коломбо алгебрасы француз математигі Жан Франсуа Коломбоның құрметіне аталған.
In mathematics, a Colombeau algebra is an algebra of a certain kind containing the space of Schwartz distributions. While in classical distribution theory a general multiplication of distributions is not possible, Colombeau algebras provide a rigorous framework for this. Such a multiplication of distributions has long been believed to be impossible because of L. Schwartz' impossibility result, which basically states that there cannot be a differential algebra containing the space of distributions and preserving the product of continuous functions. However, if one only wants to preserve the product of smooth functions instead such a construction becomes possible, as demonstrated first by Colombeau. As a mathematical tool, Colombeau algebras can be said to combine a treatment of singularities, differentiation and nonlinear operations in one framework, lifting the limitations of distribution theory. These algebras have found numerous applications in the fields of partial differential equations, geophysics, microlocal analysis and general relativity so far. Colombeau algebras are named after French mathematician Jean François Colombeau.
Таратуларды ендіру
Шварц үлестірілімдерінің кеңістігі (терістері) кез келген δ-тор ретінде ұсылған алгебраның элементімен (компоненттік тұрғыдан) конволюция арқылы қарапайым алгебраға ендіріле алады, яғни ε → 0 болғанда D'-де жақындасатын тегіс функциялар жиынымен. Бұл ендіру канондық емес, себебі ол δ-тордың таңдалуына байланысты. Дегенмен, таралымдардың канондық ендірілуін қамтамасыз ететін Коломбо алгебрасының (толық алгебра деп аталады) нұсқалары бар. Толық нұсқа екінші индекстеу жиыны ретінде моллификаторларды қосу арқылы алынады.
The space(s) of Schwartz distributions can be embedded into the simplified algebra by (component wise) convolution with any element of the algebra having as representative a δ net, i. e. a family of smooth functions such that in D' as ε → 0. This embedding is non canonical, because it depends on the choice of the δ net. However, there are versions of Colombeau algebras (so called full algebras) which allow for canonical embeddings of distributions. A well known full version is obtained by adding the mollifiers as second indexing set.