Алгебры Коломбо: Строгое расширение теории обобщённых функций
Colombeau algebra
Алгебры Colombeau: строгое математическое описание умножения обобщённых функций (распределений). Преодоление ограничений теории распределений, работа с сингулярностями.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике алгебра Коломбо — это алгебра особого типа, содержащая пространство обобщённых функций (распределений) Шварца. В то время как в классической теории обобщённых функций общее умножение обобщённых функций невозможно, алгебры Коломбо предоставляют строгую математическую основу для этого. Долгое время считалось, что такое умножение обобщённых функций невозможно из-за результата невозможности, полученного Л. Шварцем, который, по сути, утверждает, что не существует дифференциальной алгебры, содержащей пространство обобщённых функций и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если требуется лишь сохранять произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, что впервые продемонстрировал Коломбо. Алгебры Коломбо, как математический инструмент, можно рассматривать как объединение методов работы с сингулярностями, дифференцированием и нелинейными операциями в единой системе, снимая ограничения теории обобщённых функций. Эти алгебры нашли широкое применение в таких областях, как уравнения в частных производных, геофизика, микролокальный анализ и общая теория относительности. Алгебры Коломбо названы в честь французского математика Жана Франсуа Коломбо.
In mathematics, a Colombeau algebra is an algebra of a certain kind containing the space of Schwartz distributions. While in classical distribution theory a general multiplication of distributions is not possible, Colombeau algebras provide a rigorous framework for this. Such a multiplication of distributions has long been believed to be impossible because of L. Schwartz' impossibility result, which basically states that there cannot be a differential algebra containing the space of distributions and preserving the product of continuous functions. However, if one only wants to preserve the product of smooth functions instead such a construction becomes possible, as demonstrated first by Colombeau. As a mathematical tool, Colombeau algebras can be said to combine a treatment of singularities, differentiation and nonlinear operations in one framework, lifting the limitations of distribution theory. These algebras have found numerous applications in the fields of partial differential equations, geophysics, microlocal analysis and general relativity so far. Colombeau algebras are named after French mathematician Jean François Colombeau.
Встраивание дистрибутивов
Пространства распределений Шварца могут быть встроены в упрощенную алгебру свёрткой с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть, то есть семейство гладких функций, стремящихся к δ-функции в смысле D' при ε → 0. Это встраивание не является каноническим, так как зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полные алгебры), которые допускают каноническое встраивание распределений. Хорошо известный полный вариант получается добавлением моллификаторов в качестве второго индексирующего множества.
The space(s) of Schwartz distributions can be embedded into the simplified algebra by (component wise) convolution with any element of the algebra having as representative a δ net, i. e. a family of smooth functions such that in D' as ε → 0. This embedding is non canonical, because it depends on the choice of the δ net. However, there are versions of Colombeau algebras (so called full algebras) which allow for canonical embeddings of distributions. A well known full version is obtained by adding the mollifiers as second indexing set.