Кіріспе

Геометриялық векторлық бундельдерді алгебралық проективті модульдермен байланыстырады. Топология және K-теория салаларындағы Серре-Сван теоремасы, сондай-ақ Сван теоремасы деп аталатын бұл теорема, векторлық бундельдердің геометриялық ұғымын проективті модульдердің алгебралық түсінігімен байланыстырады және математиканың барлық салаларында ортақ түсінік қалыптастырады: "коммутативті сақиналардағы проективті модульдер – компакт кеңістіктердегі векторлық бундельдерге ұқсас". Теореманың екі нақты формулировкасы шамалы өзгеше. Жан-Пьер Серрдің 1955 жылы тұжырымдаған түпнұсқа теорема алгебралық сипатқа ие және алгебралық жабық өріс үстіндегі алгебралық қисықтардағы векторлық бундельдерге қатысты. Ричард Сванның 1962 жылы ұсынған толықтырушы нұсқасы көбірек аналитикалық және тегіс көпқырлы немесе Хаусдорф кеңістігіндегі (нақты, кешенді немесе кватерниондық) векторлық бундельдерге қатысты.

Дифференциалдық геометрия

М – тегіс көптік (қажетті түрде тығыз емес) және Е – M-дегі тегіс векторлық бундель. Содан кейін Γ(Е), E-нің тегіс қималарының кеңістігі, C∞(M) модульi (M-дегі тегіс нақты мәнді функциялардың коммутативтік алгебрасы). Сван теоремасы бұл модульдің шекті түрде туындайтынын және C∞(M) бойынша проективті екенін көрсетеді. Басқаша айтқанда, кез келген векторлық бундель кейбір тривиальды бундельдің тікелей қосылысы болып табылады: кейбір k үшін. Теореманы тривиальды бундельден бундель эпиморфизмін құрастыру арқылы дәлелдеуге болады. Бұл, мысалы, әрбір нүкте p үшін {si(p)} талшығын p нүктесінде жабатын s1, …, sk қималарын көрсету арқылы жасалуы мүмкін.

M байланысқан болса, кері теорема да дұрыс: C∞(M) үстіндегі кез келген шекті түрде туындайтын проективті модуль осылайша M-дегі кейбір тегіс векторлық бундельден туындайды. Мұндай модульді M-дегі n × n өзіндік теңдес матрицалардағы мәндері бар f тегіс функциясы ретінде қарастыруға болады. Сәйкес векторлық бундельдің x нүктесіндегі талшығы – f(x) мәнінің диапазоны. Егер M байланысқан болмаса, кері теорема тұрақты емес рангі бар векторлық бундельдерге рұқсат берілмесе орындалмайды (яғни, тұрақты емес өлшемді көптіктерге рұқсат етуді білдіреді). Мысалы, егер M нөлдік өлшемді 2 нүктелі көптік болса, модуль шекті түрде туындайды және проективті, бірақ бос емес, сондықтан кез келген (тұрақты рангі бар) векторлық бундельдің M-дегі қималарына сәйкес келе алмайды (олардың барлығы тривиальды). Жоғарыда айтылғандарды айтудың тағы бір жолы – кез келген байланысқан тегіс көптік M үшін, M-дегі тегіс векторлық бундельдер санатынан C∞(M) модульдерінің шекті түрде туындайтын, проективті санатына дейінгі Γ қима функторы толық, адал және маңызды жағынан сюръективті. Сондықтан M-дегі тегіс векторлық бундельдер санаты C∞(M) модульдерінің шекті түрде туындайтын, проективті санатына эквивалентті. Толық мәліметтерді мына жерде табуға болады.

Алгебралық геометрия

Алгебралық геометриядағы ұқсас нәтиже, аффиндік сорттар санатындағы векторлық бундельдерге қатысты. X – құрама бумасы және X-те модульдердің үйлесімді бумасы бар аффинді сорт болсын. Онда шекті өлшемді векторлық бундельдің түйіршігі болады, егер және тек қана егер шешілімдер кеңістігі коммутативтік сақина үстінде проективтік модуль болса.