Введение
Связывает геометрические векторные расслоения с алгебраическими проективными модулями. В математических областях топологии и K-теории теорема Серре — Свана, также называемая теоремой Свана, устанавливает связь между геометрическим понятием векторных расслоений и алгебраическим понятием проективных модулей, порождая общую интуицию в математике: "проективные модули над коммутативными кольцами подобны векторным расслоениям над компактными пространствами". Две точные формулировки теорем несколько различаются. Оригинальная теорема, сформулированная Жан-Пьером Серром в 1955 году, носит более алгебраический характер и касается векторных расслоений над алгебраическим многообразием над алгебраически замкнутым полем (любой характеристики). Дополнительная формулировка, предложенная Ричардом Сваном в 1962 году, носит более аналитический характер и касается (вещественных, комплексных или квартионных) векторных расслоений над гладным многообразием или пространством Гаусдорфа.
In the mathematical fields of topology and K theory, the Serre–Swan theorem, also called Swan's theorem, relates the geometric notion of vector bundles to the algebraic concept of projective modules and gives rise to a common intuition throughout mathematics: "projective modules over commutative rings are like vector bundles on compact spaces". The two precise formulations of the theorems differ somewhat. The original theorem, as stated by Jean Pierre Serre in 1955, is more algebraic in nature, and concerns vector bundles on an algebraic variety over an algebraically closed field (of any characteristic). The complementary variant stated by Richard Swan in 1962 is more analytic, and concerns (real, complex, or quaternionic) vector bundles on a smooth manifold or Hausdorff space.
Дифференциальная геометрия
Предположим, что M – гладкое многообразие (не обязательно компактное), а E – гладкий векторный расслоение над M. Тогда Γ(E), пространство гладких сечений E, является модулем над C∞(M) (коммутативная алгебра гладких вещественнозначных функций на M). Теорема Свана утверждает, что этот модуль конечно порожден и проективен над C∞(M). Иными словами, каждое векторное расслоение является прямым слагаемым некоторого тривиального расслоения: для некоторого k. Теорему можно доказать, построив эпиморфизм расслоений из тривиального расслоения. Это можно сделать, например, указав сечения s1, …, sk, обладающие свойством, что для каждой точки p, {si(p)} образуют базис волокна над p.
Когда M связно, обратное также верно: каждый конечно порожденный проективный модуль над C∞(M) возникает таким образом из некоторого гладкого векторного расслоения на M. Такой модуль можно рассматривать как гладкую функцию f на M со значениями в n × n идемпотентных матрицах для некоторого n. Волокно соответствующего векторного расслоения над x тогда является областью значений f(x). Если M не связно, обратное не выполняется, если только не допускаются векторные расслоения непостоянного ранга (что означает допущение многообразий непостоянной размерности). Например, если M – нульмерное 2-точечное многообразие, модуль конечно порожден и проективен над C∞(M), но не свободен, и поэтому не может соответствовать сечениям какого-либо (постоянного ранга) векторного расслоения над M (все из которых тривиальны). Другой способ сформулировать вышесказанное заключается в том, что для любого связного гладкого многообразия M, функтор сечений Γ из категории гладких векторных расслоений над M в категорию конечно порожденных проективных C∞(M)-модулей является полным, верным и существенно сюръективным. Следовательно, категория гладких векторных расслоений на M эквивалентна категории конечно порожденных проективных C∞(M)-модулей. Подробности можно найти в .
Алгебраическая геометрия
Аналогичный результат в алгебраической геометрии, установленный, применим к векторным расслоениям в категории аффинных многообразий. Пусть X – аффинное многообразие со структурным пучком и – когерентный пучок модулей над X. Тогда является пучком ростков конечномерного векторного расслоения тогда и только тогда, когда пространство сечений является проективным модулем над коммутативным кольцом.