Понтрягин кластары – нақты векторлық шоғырлардың сипаттамалық кластары. Математикадағы маңызды тұжырым, топологиялық кеңістіктерді зерттеуге көмектеседі.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Понтрагин кластары, Лев Понтрагиннің құрметіне аталған, нақты векторлық шоғырлардың ерекше сипаттамалық кластары болып табылады. Понтрагин кластары төрттің еселігіне тең дәрежедегі когомологиялық топтарда орналасады.
In mathematics, the Pontryagin classes, named after Lev Pontryagin, are certain characteristic classes of real vector bundles. The Pontryagin classes lie in cohomology groups with degrees a multiple of four.
Көптіктің Понтриагин кластары
Тік көпқабаттың Понтриагин кластары оның тангенстік бундельінің Понтриагин кластары деп анықталады. Новиков 1966 жылы егер екі компактты, бағдарланған, тегіс көптүрлілік гомеоморфты болса, онда олардың рационалды Понтриагин кластары бірдей екенін дәлелдеді. Егер өлшем кемінде бес болса, берілген гомотопия типі мен Понтриагин кластары бойынша шектеулі көптеген әр түрлі тегіс көптүрліліктер болады.
The Pontryagin classes of a smooth manifold are defined to be the Pontryagin classes of its tangent bundle. Novikov proved in 1966 that if two compact, oriented, smooth manifolds are homeomorphic then their rational Pontryagin classes in are the same. If the dimension is at least five, there are at most finitely many different smooth manifolds with given homotopy type and Pontryagin classes.
Понтрагин кластары Черн кластарынан
Күрделі векторлық топтаманың Понтрагин кластары оның Черн кластарымен толық анықталады. Бұл , Уитни қосындысы формуласы және оның күрделі конъюгаттық топтамасының Черн кластарының қасиеттерінен туындайды. Яғни, және содан кейін, берілген қатынас арқылы, мысалы, бұл формуланы қисық және беттегі күрделі векторлық топтаманың Понтрагин кластарын табу үшін қолдануға болады. Қисық үшін бізде бар, сондықтан күрделі векторлық топтаманың барлық Понтрагин кластары тривиальды. Бетте бізде көрсетілген, бұл өлшемдік себептерге байланысты сызықтық топтамалар үшін одан да қарапайымдалады, себебі .
The Pontryagin classes of a complex vector bundle is completely determined by its Chern classes. This follows from the fact that , the Whitney sum formula, and properties of Chern classes of its complex conjugate bundle. That is, and Then, this given the relationfor example, we can apply this formula to find the Pontryagin classes of a complex vector bundle on a curve and a surface. For a curve, we haveso all of the Pontryagin classes of complex vector bundles are trivial. On a surface, we haveshowing On line bundles this simplifies further since by dimension reasons.
Понтриягин кластары Квартикалық K3 бетінде
Естеріңізге сала кетейік, нөлдік жиыны тегіс субвариант болатын төртінші дәрежелі полином K3 беті деп аталады. Егер біз нормалық тізбекті қолдансақ, онда біз төрт нүктеге сәйкес келетін және есептей аламыз. Безу леммасына сәйкес, екінші Черн саны тең. Осы жағдайда болғандықтан, бұл сан сфералардың үшінші тұрақты гомотопия тобын есептеуге қолданылуы мүмкін.
Recall that a quartic polynomial whose vanishing locus in is a smooth subvariety is a K3 surface. If we use the normal sequencewe can findshowing and Since corresponds to four points, due to Bezout's lemma, we have the second chern number as Since in this case, we have
This number can be used to compute the third stable homotopy group of spheres.
Қасиеттері
Понтрагин сандары — бағытталған кобордизм инварианттары; Стифель-Уитни сандарымен бірге олар бағытталған көпқырлының бағытталған кобордизм класын анықтайды. Жабық Риман көпқырлыларының Понтрагин сандары (сондай-ақ Понтрагин кластары) Риман көпқырлысының қисықтық тензорынан алынған белгілі бір полиномдардың интегралы ретінде есептелуі мүмкін. Имза және род сияқты инварианттарды Понтрагин сандары арқылы өрнектеуге болады. Имзаны беретін Понтрагин сандарының сызықтық комбинациясын сипаттайтын теорема үшін Хирцебрухтың имза теоремасын қараңыз.
Pontryagin numbers are oriented cobordism invariant; and together with Stiefel Whitney numbers they determine an oriented manifold's oriented cobordism class. Pontryagin numbers of closed Riemannian manifolds (as well as Pontryagin classes) can be calculated as integrals of certain polynomials from the curvature tensor of a Riemannian manifold. Invariants such as signature and genus can be expressed through Pontryagin numbers. For the theorem describing the linear combination of Pontryagin numbers giving the signature see Hirzebruch signature theorem.
Жалпылау
Сондай-ақ, кватерниондық құрылымы бар векторлық бундельдер үшін кватерниондық Понтрягин класы бар.
There is also a quaternionic Pontryagin class, for vector bundles with quaternion structure.