Введение

В математике классы Понтрягина, названные в честь Льва Понтрягина, — это определенные характеристические классы вещественных векторных расслоений. Классы Понтрягина лежат в группах когомологий степеней, кратных четырем.

Понтриагинные классы коллектора

Понтриагинские классы гладкого многообразия определяются как Понтриагинские классы его касательного расслоения. Новиков доказал в 1966 году, что если два компактных, ориентированных, гладких многообразия гомеоморфны, то их рациональные классы Понтрягина совпадают. Если размерность не меньше пяти, то существует не более чем конечное число различных гладких многообразий с заданным типом гомотопии и классами Понтрягина.

Понтрагинские классы от Черновских классов

Понтриагинские классы комплексного векторного расслоения полностью определяются его классами Черна. Это следует из того, что , формулы суммы Уитни и свойств классов Черна его комплексно сопряженного расслоения. То есть, и затем, используя это соотношение, например, мы можем применить эту формулу для нахождения классов Понтриагина комплексного векторного расслоения на кривой и поверхности. Для кривой мы имеем, следовательно, все классы Понтриагина комплексных векторных расслоений тривиальны. На поверхности мы показываем, что, а для линейных расслоений это упрощается еще больше по размерностным причинам.

Понтриагиновые классы на поверхности К3

Напомним, что квартичный полином, область нулей которого в $\mathbb{P}^3$ является гладким подмногообразием, называется поверхностью K3. Используя нормальную последовательность, можно найти, что показывающее $c_1 = 0$ и $c_2 = 4$. Поскольку $\mathbb{P}^3$ соответствует четырем точкам, в силу леммы Безу, второе число Черна равно 4. Так как $c_1 = 0$ в этом случае, мы имеем $c_2 = 4$. Это число можно использовать для вычисления третьей стабильной группы гомотопий сфер.

Свойства

Числа Понтрягина являются инвариантами ориентированного кобордизма, и вместе с числами Стифеля — Уитни они определяют класс ориентированного кобордизма ориентированного многообразия. Числа Понтрягина замкнутых римановых многообразий (а также классы Понтрягина) могут быть вычислены как интегралы определенных полиномов от тензора кривизны риманова многообразия. Инварианты, такие как сигнатура и род, могут быть выражены через числа Понтрягина. О теореме, описывающей линейную комбинацию чисел Понтрягина, дающую сигнатуру, см. теорему о сигнатуре Хирцебруха.

Обобщения

Существует также кватернионный класс Понтрягина для векторных расслоений с кватернионной структурой.