Кіріспе
Голоморфияның интегралдық критерийі
In complex analysis, a branch of mathematics, Morera's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic. Morera's theorem states that a continuous, complex valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies
for every closed piecewise C1 curve in D must be holomorphic on D.
The assumption of Morera's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D.
The converse of the theorem is not true in general. A holomorphic function need not possess an antiderivative on its domain, unless one imposes additional assumptions. The converse does hold e. g. if the domain is simply connected; this is Cauchy's integral theorem, stating that the line integral of a holomorphic function along a closed curve is zero. The standard counterexample is the function 1=f(z) = 1/z, which is holomorphic on C − {0}. On any simply connected neighborhood U in C − {0}, 1/z has an antiderivative defined by 1=L(z) = ln(r) + iθ, where 1=z = re^(iθ). Because of the ambiguity of θ up to the addition of any integer multiple of 2, any continuous choice of θ on U will suffice to define an antiderivative of 1/z on U. (It is the fact that θ cannot be defined continuously on a simple closed curve containing the origin in its interior that is the root of why 1/z has no antiderivative on its entire domain C − {0}.) And because the derivative of an additive constant is 0, any constant may be added to the antiderivative and the result will still be an antiderivative of 1/z. In a certain sense, the 1/z counterexample is universal: For every analytic function that has no antiderivative on its domain, the reason for this is that 1/z itself does not have an antiderivative on C − {0}.
Комплекстік талдауда, математиканың бір саласында, Джачинто Морераның есімімен аталған Морера теоремасы, функцияның голоморфты екенін дәлелдеу үшін маңызды критерий береді. Морера теоремасы былай тұжырымдайды: D-дегі әрбір жабық, бөлігі бойынша C1 қисығын қанағаттандыратын, күрделі жазықтықтағы ашық жиын D-де анықталған, үздіксіз, күрделі мәнді f функциясы D-де голоморфты болады.
In complex analysis, a branch of mathematics, Morera's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic. Morera's theorem states that a continuous, complex valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies
for every closed piecewise C1 curve in D must be holomorphic on D.
The assumption of Morera's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D.
The converse of the theorem is not true in general. A holomorphic function need not possess an antiderivative on its domain, unless one imposes additional assumptions. The converse does hold e. g. if the domain is simply connected; this is Cauchy's integral theorem, stating that the line integral of a holomorphic function along a closed curve is zero. The standard counterexample is the function 1=f(z) = 1/z, which is holomorphic on C − {0}. On any simply connected neighborhood U in C − {0}, 1/z has an antiderivative defined by 1=L(z) = ln(r) + iθ, where 1=z = re^(iθ). Because of the ambiguity of θ up to the addition of any integer multiple of 2, any continuous choice of θ on U will suffice to define an antiderivative of 1/z on U. (It is the fact that θ cannot be defined continuously on a simple closed curve containing the origin in its interior that is the root of why 1/z has no antiderivative on its entire domain C − {0}.) And because the derivative of an additive constant is 0, any constant may be added to the antiderivative and the result will still be an antiderivative of 1/z. In a certain sense, the 1/z counterexample is universal: For every analytic function that has no antiderivative on its domain, the reason for this is that 1/z itself does not have an antiderivative on C − {0}.
Морера теоремасының шарты D-де f функциясының жергілікті антитуындысына ие болумен тең.
In complex analysis, a branch of mathematics, Morera's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic. Morera's theorem states that a continuous, complex valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies
for every closed piecewise C1 curve in D must be holomorphic on D.
The assumption of Morera's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D.
The converse of the theorem is not true in general. A holomorphic function need not possess an antiderivative on its domain, unless one imposes additional assumptions. The converse does hold e. g. if the domain is simply connected; this is Cauchy's integral theorem, stating that the line integral of a holomorphic function along a closed curve is zero. The standard counterexample is the function 1=f(z) = 1/z, which is holomorphic on C − {0}. On any simply connected neighborhood U in C − {0}, 1/z has an antiderivative defined by 1=L(z) = ln(r) + iθ, where 1=z = re^(iθ). Because of the ambiguity of θ up to the addition of any integer multiple of 2, any continuous choice of θ on U will suffice to define an antiderivative of 1/z on U. (It is the fact that θ cannot be defined continuously on a simple closed curve containing the origin in its interior that is the root of why 1/z has no antiderivative on its entire domain C − {0}.) And because the derivative of an additive constant is 0, any constant may be added to the antiderivative and the result will still be an antiderivative of 1/z. In a certain sense, the 1/z counterexample is universal: For every analytic function that has no antiderivative on its domain, the reason for this is that 1/z itself does not have an antiderivative on C − {0}.
Теореманың керісі жалпы жағдайда дұрыс емес. Голоморфты функцияның доменінде қосымша шарттар қойылмаса, антитуындысы болуы міндетті емес. Алайда, егер домен жай байланысқан болса, керісі дұрыс; бұл Коши интегралдық теоремасы, ол жабық қисық бойындағы голоморфты функцияның сызықтық интегралы нөлге тең екенін көрсетеді. Әйгілі қарсы мысал – 1=f(z) = 1/z функциясы, ол C − {0} жиынында голоморфты. Кез келген жай байланысқан U аймағында, C − {0} жиынында, 1/z функциясы 1=L(z) = ln(r) + iθ арқылы анықталатын антитуындыға ие, мұнда 1=z = re^(iθ). θ-ның кез келген бүтін санға көбейтілген мәнді қосуға дейін анықталмауына байланысты, U-да θ-ның кез келген үздіксіз таңдауы U-да 1/z функциясының антитуындысын анықтауға жеткілікті. (1/z функциясының бүкіл C − {0} доменінде антитуындысы болмауының себебі – оның ішіндегі шығу тегі бар жай ғана жабық қисық бойында θ-ны үздіксіз анықтау мүмкін еместігінде.) Ал қосымша тұрақтының туындысы 0 болғандықтан, кез келген тұрақтыны антитуындыға қосуға болады, нәтижесі 1/z функциясының антитуындысы болады. Бір жағынан, 1/z қарсы мысалы әмбебап: доменінде антитуындысы жоқ әрбір аналитикалық функция үшін, мұның себебі – 1/z функциясының өзінің C − {0} жиынында антитуындысы болмауында.
In complex analysis, a branch of mathematics, Morera's theorem, named after Giacinto Morera, gives an important criterion for proving that a function is holomorphic. Morera's theorem states that a continuous, complex valued function f defined on an open set D in the complex plane that satisfies
for every closed piecewise C1 curve in D must be holomorphic on D.
The assumption of Morera's theorem is equivalent to f locally having an antiderivative on D.
The converse of the theorem is not true in general. A holomorphic function need not possess an antiderivative on its domain, unless one imposes additional assumptions. The converse does hold e. g. if the domain is simply connected; this is Cauchy's integral theorem, stating that the line integral of a holomorphic function along a closed curve is zero. The standard counterexample is the function 1=f(z) = 1/z, which is holomorphic on C − {0}. On any simply connected neighborhood U in C − {0}, 1/z has an antiderivative defined by 1=L(z) = ln(r) + iθ, where 1=z = re^(iθ). Because of the ambiguity of θ up to the addition of any integer multiple of 2, any continuous choice of θ on U will suffice to define an antiderivative of 1/z on U. (It is the fact that θ cannot be defined continuously on a simple closed curve containing the origin in its interior that is the root of why 1/z has no antiderivative on its entire domain C − {0}.) And because the derivative of an additive constant is 0, any constant may be added to the antiderivative and the result will still be an antiderivative of 1/z. In a certain sense, the 1/z counterexample is universal: For every analytic function that has no antiderivative on its domain, the reason for this is that 1/z itself does not have an antiderivative on C − {0}.
Қолданбалар
Морера теоремасы – комплекс сараптаманың негізгі құралы. Ол голоморфты функцияны алгебралық емес жолмен құруға байланысты кез келген дәлелде қолданылады.
Біркелкі шектер
Мысалы, f1, f2 – ашық дискідегі f үздіксіз функцияға біркелкі жақындасатын голоморфтық функциялар тізбегі деп есептейік. Коши теоремасы бойынша, біз дисктегі кез келген жабық қисық C бойындағы әр n үшін келесіні білеміз:
for every n, along any closed curve C in the disc. Then the uniform convergence implies that
for every closed curve C, and therefore by Morera's theorem f must be holomorphic. This fact can be used to show that, for any open set Ω ⊆ 'C', the set A(Ω) of all bounded, analytic functions u : Ω → 'C' is a Banach space with respect to the supremum norm.
әрбір жабық қисық C үшін, және демек Морера теоремасы бойынша f голоморфты болуы керек. Бұл факт кез келген ашық жиын Ω ⊆ 'C' үшін, барлық шектелген, аналитикалық функциялар u: Ω → 'C' жиынтығының жоғарғы нормаға қатысты Банах кеңістігі екенін көрсетуге қолданылуы мүмкін.
for every n, along any closed curve C in the disc. Then the uniform convergence implies that
for every closed curve C, and therefore by Morera's theorem f must be holomorphic. This fact can be used to show that, for any open set Ω ⊆ 'C', the set A(Ω) of all bounded, analytic functions u : Ω → 'C' is a Banach space with respect to the supremum norm.
Гипотезалардың әлсіреуі
Морера теоремасының гипотезаларын едәуір жеңілдетуге болады. Атап айтқанда, D аймағына толығымен кіретін әрбір жабық (қатты) үшбұрыш T үшін интегралдың нөлге тең болуы жеткілікті. Бұл, шындығында, голоморфияны сипаттайды, яғни f функциясы D аймағында голоморфты болуы үшін және тек қана жоғарыда көрсетілген шарттар орындалуы керек. Бұл сонымен қатар голоморфты функциялардың біркелкі лиміттері туралы аталған фактінің келесі жалпыламасын білдіреді: егер f1, f2, – ашық жиын Ω ⊆ 'C' жиынында анықталған голоморфты функциялардың тізбегі болса және ол Ω жиынының компактты жиынтықтарында f функциясына біркелкі жақындасса, онда f функциясы голоморфты болады.
to be zero for every closed (solid) triangle T contained in the region D. This in fact characterizes holomorphy, i. e. f is holomorphic on D if and only if the above conditions hold. It also implies the following generalisation of the aforementioned fact about uniform limits of holomorphic functions: if f1, f2, is a sequence of holomorphic functions defined on an open set Ω ⊆ 'C' that converges to a function f uniformly on compact subsets of Ω, then f is holomorphic.