Введение

Интегральный критерий голоморфизма

В комплексном анализе, ветви математики, теорема Мореры, названная в честь Джачинто Мореры, представляет собой важный критерий для доказательства голоморфности функции. Теорема Мореры утверждает, что непрерывная, комплекснозначная функция f, определенная на открытом множестве D в комплексной плоскости, которая удовлетворяет

для каждой замкнутой кусочно-гладкой кривой в D, должна быть голоморфной на D.

Условие теоремы Мореры эквивалентно локальному существованию антипроизводной для f на D.

Обратное утверждение теоремы, как правило, неверно. Голоморфная функция не обязана иметь антипроизводную на своей области определения, если не наложены дополнительные ограничения. Однако обратное утверждение справедливо, например, если область просто связна; это интегральная теорема Коши, утверждающая, что линейный интеграл голоморфной функции вдоль замкнутой кривой равен нулю. Стандартным контрпримером является функция f(z) = 1/z, которая голоморфна на C − {0}. На любой просто связанной окрестности U в C − {0}, функция 1/z имеет антипроизводную, задаваемую L(z) = ln(r) + iθ, где z = re^(iθ). Из-за неоднозначности θ с точностью до добавления любого целого кратного 2π, любого непрерывного выбора θ на U достаточно для определения антипроизводной 1/z на U. (Тот факт, что θ нельзя непрерывно определить на простой замкнутой кривой, содержащей начало координат во внутренней области, является причиной отсутствия антипроизводной у 1/z на всей области C − {0}.) И поскольку производная аддитивной константы равна 0, к антипроизводной можно добавить любую константу, и результат все равно будет антипроизводной 1/z. В определенном смысле, контрпример 1/z является универсальным: для любой аналитической функции, не имеющей антипроизводной на своей области определения, причина этого заключается в том, что сама функция 1/z не имеет антипроизводной на C − {0}.

Приложения

Теорема Мореры — стандартный инструмент в комплексном анализе. Она используется практически в любом доказательстве, включающем неалгебраическое построение голоморфной функции.

Единые пределы

Например, предположим, что f1, f2, … — последовательность голоморфных функций, равномерно сходящаяся к непрерывной функции f на открытом диске. По теореме Коши мы знаем, что

для каждого n вдоль любой замкнутой кривой C в диске. Тогда равномерная сходимость влечет, что

для любой замкнутой кривой C, и, следовательно, по теореме Мореры, f должна быть голоморфной. Этот факт можно использовать для доказательства того, что для любого открытого множества Ω ⊆ ℂ множество A(Ω) всех ограниченных аналитических функций u : Ω → ℂ является пространством Банаха относительно супремум-нормы.

Ослабление гипотез

Гипотезы теоремы Мореры могут быть значительно ослаблены. В частности, достаточно, чтобы интеграл был равен нулю для каждого замкнутого (заполненного) треугольника T, содержащегося в области D. Это, фактически, характеризует голоморфность, то есть f является голоморфной на D тогда и только тогда, когда выполняются вышеуказанные условия. Это также влечет за собой следующее обобщение вышеупомянутого факта об равномерных пределах голоморфных функций: если f1, f2, … – последовательность голоморфных функций, определенных на открытом множестве Ω ⊆ C, сходящаяся к функции f равномерно на компактных подмножествах Ω, то f является голоморфной.