Музыкалық жиын теориясы

Кіріспе

Музыка теориясының саласы

Музыкалық жиынтықтар теориясы музыкалық объектілерді жіктеу және олардың арақатынастарын сипаттауға арналған ұғымдарды ұсынады. Говард Хансон алғаш рет тональды музыканы талдау үшін көптеген ұғымдарды жасады. Милтон Бэббиттің он екі тондық теориясына сүйене отырып, Аллен Форте сияқты басқа теоретиктер атональды музыканы талдау теориясын одан әрі дамытты. Музыкалық жиынтықтар теориясының ұғымдары өте жалпы және кез келген тең темпераментті құралдағы тональды және атональды стильдерге, сондай-ақ одан да кеңірек қолданылуы мүмкін. Музыкалық жиынтықтар теориясының бір саласы биіктіктер мен биіктік санаттарының жиынтықтарын (жинақтары мен өзгерістерін) қарастырады (биіктік санаттары жиынтығының теориясы), олар реттелген немесе реттелмеген болуы мүмкін және транспозиция, мелодиялық инверсия және толықтыру сияқты музыкалық амалдар арқылы байланыстырылуы мүмкін. Кейбір теоретиктер музыкалық жиынтықтар теориясының әдістерін ырғақты талдау үшін де қолданады.

Математикалық жиынтық теориясымен салыстыру

Музыкалық жиынтықтар теориясы математикалық жиынтықтар теориясын музыкаға қолданумен байланысты деп есептелсе де, екеуінің әдістемелері мен терминологиясында көптеген айырмашылықтар бар. Мысалы, музыканттар транспозиция және инверсия терминдерін пайдаланса, математиктер аударма және кері бейнелеу (рефлексия) терминдерін қолданады. Бұдан әрі, музыкалық жиынтықтар теориясы реттелген жиынтықтарды қарастырса, математикада олар әдетте топтамалар немесе тізбектер деп аталады (математика реттелген жиынтықтар туралы айтса да, және олар музыкалық жиынтықтарды белгілі бір жағдайда қамтуы мүмкін болса да, олармен салыстырғанда күрделірек). Сонымен қатар, музыкалық жиынтықтар теориясы математикалық жиынтықтар теориясынан гөрі топтар теориясымен және комбинаторикамен тығыз байланысты, ол, мысалы, шексіз жиынтықтардың түрлі өлшемдері сияқты мәселелерді зерттейді. Комбинаторикада, пішін кластары сияқты объектілердің ретсіз жиынтығы комбинация, ал ретті жиынтығы – пермутация деп аталады. Музыкалық жиынтықтар теориясын математикалық жиынтықтар теориясының бір тармағы емес, музыка теориясына комбинаториканы қолдану ретінде қарастыру дұрыс. Оның математикалық жиынтықтар теориясымен негізгі байланысы – шекті жиынтықтарды талқылау үшін жиынтықтар теориясының терминологиясын пайдалану.

Жинақтың түрлері

Музыкалық жиынтық теориясының негізгі ұғымы – (музыкалық) жиынтық, ол биіктік кластарының ретсіз жиынтығы. Нақтырақ айтқанда, питч-класс жиынтығы – бұл сандық бейнелеу, ол ерекше бүтін сандардан тұрады (яғни, қайталанбайтын). Жиынтықтың элементтері музыкада бір уақытта орындалатын аккордтар, тізбектей келетін дыбыстар (мысалы, мелодияда) немесе олардың комбинациясы ретінде көрініс беруі мүмкін. Нотациялық конвенциялар автордан авторға өзгеше болуы мүмкін, бірақ жиынтықтар көбінесе фигуралық жақшалармен: {} немесе тік жақшалармен: [] қоршалған. Кейбір теоретиктер бұрышты жақшаларды реттелген тізбектерді көрсету үшін пайдаланады, ал басқалары сандарды аралықпен бөліп, реттелген жиынтықты ажыратады. Осылайша, 0, 1 және 2 питч-кластарының (осы жағдайда C, C және D сәйкес келетін) ретсіз жиынтығын {0,1,2} деп жазуға болады. Реттелген тізбек C C D (0,1,2) деп белгіленуі мүмкін. Осы мысалда C нөл ретінде қарастырылса да, бұл әрқашан осылай бола бермейді. Мысалы, F ортасы анық болған (тоналды немесе атоналды) шығарманы F нөл ретінде белгіленгенде талдау оңайырақ болуы мүмкін (бұл жағдайда {0,1,2} F, F және G-ді көрсетеді). Жиынтық теориясы көбінесе тең темпераментті питч-кластар жиынтығын қарастырса да, питч-кластардың, тең емес темпераментті питч-кластардың, ырғақты басталулардың немесе «ритм кластарының» жиынтығын қарастыруға болады. Екі элементтен тұратын жиынтықтар диадалар, үш элементтен тұратын жиынтықтар трихордтар (кейде «триадалар» деп те аталады, бірақ бұл сөздің дәстүрлі мағынасымен шатастыруға оңай болады) деп аталады. Жоғары кардиналдығы бар жиынтықтар тетрахордтар (немесе тетрадтар), пентахордтар (немесе пентадтар), гексахордтар (немесе гексадтар), гептахордтар (гептадтар немесе кейде латын және грек түбірлерін араластырып, «септахордтар» деп аталады, мысалы, Rahn), октахордтар (октадтар), нонахордтар (нонадтар), декахордтар (декадтар), ундекахордтар және, соңында, додекахорд деп аталады.

Негізгі операциялар

Жинақта орындалуы мүмкін негізгі операциялар – транспозиция және инверсия. Транспозиция немесе инверсия арқылы байланысты жиынтықтар транспозициялық немесе инверсиялық байланысты деп аталады және бір жиынтық класына жатады. Транспозиция мен инверсия – бұл биіктік класы кеңістігінің изометриясы болғандықтан, олар жиынның интервалдық құрылымын сақтайды, тіпті жиын элементтерінің музыкалық сипатын (яғни физикалық жай-күйін) сақтамаса да. Мұны музыкалық жиынтық теориясының негізгі постулаты деп қарастыруға болады. Іс жүзінде, жиынтық теориялық музыкалық талдау көбінесе бір шығармада кездесетін жиынтықтар арасындағы айқын емес транспозициялық немесе инверсиялық қатынастарды анықтаудан тұрады. Кейбір авторлар толықтыру және көбейту операцияларын да қарастырады. X жиынтығының толықтыруы – X-те қамтылмаған барлық биіктік кластарынан тұратын жиынтық. Екі биіктік класының көбейтіндісі – олардың биіктік класы нөмірлерінің көбейтіндісі, 12-ге модульдік бөлу арқылы алынған қалдық. Толықтыру мен көбейту биіктік класы кеңістігінің изометриясы болмағандықтан, олар өзгертетін объектілердің музыкалық сипатын міндетті түрде сақтамайды. Аллен Форте сияқты басқа авторлар Z қатынасын ерекше атап көрсетеді, ол бірдей жалпы интервалдық құрамын немесе интервалдық векторды бөлісетін, бірақ транспозициялық немесе инверсиялық түрде тең емес екі жиынтық арасында туындайды. Хансон бұл қатынасты "изомерлік" деп те атайды. Реттелген биіктік кластарының тізбегіндегі операциялар транспозиция мен инверсияны, сондай-ақ ретроградты және айналуды қамтиды. Ретроградталған реттелген тізбек элементтерінің ретін керіше түйірлейді. Реттелген тізбекті айналу – циклдық ауыстыруға тең. Транспозиция мен инверсияны қарапайым арифметикалық операциялар ретінде көрсетуге болады. Егер – биіктік класын білдіретін сан болса, оның жарты тонмен транспозициясы T = + mod 12 деп жазылады. Инверсия – биіктік класы кеңістігіндегі белгілі бір оқшау нүктеге қатысты көрініс. Егер – биіктік класы болса, индекстік нөмірі бар инверсия I = mod 12 деп жазылады.

The basic operations that may be performed on a set are transposition and inversion. Sets related by transposition or inversion are said to be transpositionally related or inversionally related, and to belong to the same set class. Since transposition and inversion are isometries of pitch class space, they preserve the intervallic structure of a set, even if they do not preserve the musical character (i. e. the physical reality) of the elements of the set. This can be considered the central postulate of musical set theory. In practice, set theoretic musical analysis often consists in the identification of non obvious transpositional or inversional relationships between sets found in a piece. Some authors consider the operations of complementation and multiplication as well. The complement of set X is the set consisting of all the pitch classes not contained in X. The product of two pitch classes is the product of their pitch class numbers modulo 12. Since complementation and multiplication are not isometries of pitch class space, they do not necessarily preserve the musical character of the objects they transform. Other writers, such as Allen Forte, have emphasized the Z relation, which obtains between two sets that share the same total interval content, or interval vector—but are not transpositionally or inversionally equivalent. Another name for this relationship, used by Hanson, is "isomeric". Operations on ordered sequences of pitch classes also include transposition and inversion, as well as retrograde and rotation. Retrograding an ordered sequence reverses the order of its elements. Rotation of an ordered sequence is equivalent to cyclic permutation. Transposition and inversion can be represented as elementary arithmetic operations. If is a number representing a pitch class, its transposition by semitones is written T = + mod 12. Inversion corresponds to reflection around some fixed point in pitch class space. If is a pitch class, the inversion with index number is written I = mod 12.

Теңдестік қатынасы

S жиынындағы қатынас [алгебрада] эквиваленттік қатынас болуы үшін үш шартты қанағаттандыруы керек: ол рефлексивті, симметриялық және транзитивті болуы тиіс. "Шындығында, теңдестік туралы бейресми түсінік әрдайым музыка теориясы мен талдауының құрамында болған. Дегенмен, ПК жиынтық теориясы эквиваленттіліктің формалды анықтамаларын ұстанады".

Симметриялар

Жинақты өзіне бейімдейтін жүйедегі ерекше операциялардың саны – жиынның симметрия дәрежесі. Симметрия дәрежесі «бөліністің ретсіз жиынтықтарын сақтайтын операциялардың санын көрсетеді; ол бөліністің тональдық кластарының транспозиция немесе инверсия арқылы бір-біріне (немесе) қалай бейімделетінін анықтайды». Кез келген жиынның кем дегенде бір симметриясы болады, себебі ол T сәйкестік операциясы бойынша өзіне бейімделеді. Транспозициялық симметриялық жиынтықтар T үшін, егер ол 0-ге тең болмаса (12 модулі бойынша), өзіне бейімделеді. Инверсиялық симметриялық жиынтықтар TI бойынша өзіне бейімделеді. Кез келген берілген T/TI типі үшін барлық жиынтықтардың симметрия дәрежесі бірдей. Бір типтегі ерекше жиынтықтардың саны – 24 (n = 0-ден 11-ге дейінгі операциялардың, транспозицияның және инверсияның жалпы саны), ол T/TI типінің симметрия дәрежесіне бөлінеді. Транспозициялық симметриялық жиынтықтар октаваны тең бөледі немесе октаваны тең бөлетін бірдей мөлшердегі жиынтықтардың бірігісі ретінде жазылуы мүмкін. Инверсиялық симметриялық аккордтар тональдық класс кеңістігіндегі шағылысулар кезінде өзгермейді. Бұл аккордтарды циклдық түрде реттеуге болады, сонда ноталар арасындағы интервалдар тізбегі алға немесе кері оқылғанда бірдей болады. Мысалы, циклдық ретте (0, 1, 2, 7) бірінші және екінші ноталар арасындағы интервал 1, екінші және үшінші ноталар арасындағы интервал 1, үшінші және төртінші ноталар арасындағы интервал 5, ал төртінші нота мен бірінші нота арасындағы интервал 5. Егер тізбектің үшінші элементінен бастап кері бағытта жылсақ, сол реттілік алынады: тізбектің үшінші және екінші элементтері арасындағы интервал 1; тізбектің екінші және бірінші элементтері арасындағы интервал 1; тізбектің бірінші және төртінші элементтері арасындағы интервал 5; және тізбектің соңғы және үшінші элементтері арасындағы интервал 5. Сондықтан T0 және T2I арасында симметрия бар, ал T/TI эквиваленттілік класында 12 жиынтық бар.

The number of distinct operations in a system that map a set into itself is the set's degree of symmetry. The degree of symmetry, "specifies the number of operations that preserve the unordered pcsets of a partition; it tells the extent to which that partition's pitch class sets map into (or onto) each other under transposition or inversion". Every set has at least one symmetry, as it maps onto itself under the identity operation T. Transpositionally symmetric sets map onto themselves for T where does not equal 0 (mod 12). Inversionally symmetric sets map onto themselves under TI. For any given T/TI type all sets have the same degree of symmetry. The number of distinct sets in a type is 24 (the total number of operations, transposition and inversion, for n = 0 through 11) divided by the degree of symmetry of T/TI type. Transpositionally symmetrical sets either divide the octave evenly, or can be written as the union of equally sized sets that themselves divide the octave evenly. Inversionally symmetrical chords are invariant under reflections in pitch class space. This means that the chords can be ordered cyclically so that the series of intervals between successive notes is the same read forward or backward. For instance, in the cyclical ordering (0, 1, 2, 7), the interval between the first and second note is 1, the interval between the second and third note is 1, the interval between the third and fourth note is 5, and the interval between the fourth note and the first note is 5. One obtains the same sequence if one starts with the third element of the series and moves backward: the interval between the third element of the series and the second is 1; the interval between the second element of the series and the first is 1; the interval between the first element of the series and the fourth is 5; and the interval between the last element of the series and the third element is 5. Symmetry is therefore found between T0 and T2I, and there are 12 sets in the T/TI equivalence class.