Теория множеств в музыке

Введение

Отрасль теории музыки

Теория музыкальных множеств предоставляет концепции для категоризации музыкальных объектов и описания их взаимосвязей. Говард Хэнсон первым подробно разработал многие из этих концепций для анализа тональной музыки. Другие теоретики, такие как Аллен Форте, дополнительно развили эту теорию для анализа атональной музыки, опираясь на теорию двенадцати тонов Милтона Бэббитта. Концепции теории музыкальных множеств носят весьма общий характер и могут применяться к тональным и атональным стилям в любой системе равной темперации, и в некоторой степени – к более широкому кругу музыкальных систем. Одно из направлений теории музыкальных множеств изучает совокупности (множества и перестановки) высот звуков и классов высот (теория множеств классов высот), которые могут быть упорядоченными или неупорядоченными и связаны между собой музыкальными операциями, такими как транспозиция, мелодическое обращение и комплементарность. Некоторые теоретики применяют методы теории музыкальных множеств также и к анализу ритма.

Сравнение с математической теорией множеств

Хотя теория музыкальных множеств часто представляется как применение математической теории множеств к музыке, между методами и терминологией этих двух областей существует множество различий. Например, музыканты используют термины "транспозиция" и "инверсия", в то время как математики используют "сдвиг" и "отражение". Более того, там, где в теории музыкальных множеств речь идет об упорядоченных множествах, в математике обычно используются кортежи или последовательности (хотя математика и рассматривает упорядоченные множества, и хотя их можно рассматривать как включающие в себя музыкальные множества в определенном смысле, они гораздо сложнее). К тому же, теория музыкальных множеств имеет более тесную связь с теорией групп и комбинаторикой, чем с математической теорией множеств, которая занимается такими вопросами, как, например, различные мощности бесконечных множеств. В комбинаторике неупорядоченное подмножество объектов, таких как высотные классы, называется сочетанием, а упорядоченное подмножество – перестановкой. Теорию музыкальных множеств следует рассматривать скорее как применение комбинаторики к теории музыки, чем как ветвь математической теории множеств. Её основная связь с математической теорией множеств заключается в использовании терминологии теории множеств для описания конечных множеств.

Типы комплектов

Основным понятием теории музыкальных множеств является (музыкальное) множество, представляющее собой неупорядоченную коллекцию классов высоты звука. Более точно, множество классов высоты звука – это числовое представление, состоящее из различных целых чисел (то есть без повторений). Элементы множества могут проявляться в музыке как одновременные аккорды, последовательные звуки (как в мелодии) или и то, и другое. Нотационные конвенции различаются у разных авторов, но множества обычно заключаются в фигурные скобки: {}, или квадратные скобки: []. Некоторые теоретики используют угловые скобки для обозначения упорядоченных последовательностей, а другие различают упорядоченные множества, разделяя числа пробелами. Таким образом, неупорядоченное множество классов высоты звука 0, 1 и 2 (соответствующих в данном случае C, C и D) можно записать как {0,1,2}. Упорядоченная последовательность C C D будет записана как <0,1,2> или (0,1,2). Хотя в этом примере C считается нулем, это не всегда так. Например, музыкальное произведение (тональное или атональное) с выраженным центром тональности F может быть наиболее эффективно проанализировано, если F присвоить значение ноль (в этом случае {0,1,2} будет представлять F, F и G). (О применении чисел для обозначения нот см. статью «Класс высоты звука»). Хотя теоретики множеств обычно рассматривают множества классов эквитемперированных высот звука, возможно рассматривать множества высот звука, неэквитемперированных классов высоты звука, ритмических установок или «классов доли». Множества из двух элементов называются диадами, из трех – трихордами (иногда «триадами», хотя это легко спутать с традиционным значением слова «триада»). Множества с большей кардинальностью называются тетрахордами (или тетрадами), пентахордами (или пентадами), гексахордами (или гексадами), гептахордами (гептадами или, иногда, смешивая латинские и греческие корни, «септахордами» – например, у Рана), октахордами (октадами), нонахордами (нонадами), декахордами (декадами), ундекахордами и, наконец, додекахордом.

Основные операции

Основными операциями, которые могут быть выполнены над множеством, являются транспозиция и инверсия. Множества, связанные транспозицией или инверсией, называются транспозиционно связанными или инверсионно связанными и принадлежат к одному классу множеств. Поскольку транспозиция и инверсия являются изометриями пространства классов высоты, они сохраняют интервальную структуру множества, даже если не сохраняют музыкальный характер (то есть физическую реальность) элементов множества. Это можно считать центральным постулатом теории музыкальных множеств. На практике теоретический музыкальный анализ множеств часто заключается в выявлении неочевидных транспозиционных или инверсионных связей между множествами, обнаруженными в музыкальном произведении. Некоторые авторы также рассматривают операции комплементации и умножения. Комплементом множества X является множество, состоящее из всех классов высоты, не входящих в X. Произведением двух классов высоты является произведение их номеров классов высоты по модулю 12. Поскольку комплементация и умножение не являются изометриями пространства классов высоты, они не обязательно сохраняют музыкальный характер объектов, которые они преобразуют. Другие авторы, такие как Аллен Форте, подчеркивали Z-отношение, которое возникает между двумя множествами, имеющими одинаковое общее интервальное содержание, или интервальный вектор, но не являющимися транспозиционно или инверсионно эквивалентными. Другое название для этой связи, используемое Хансоном, – "изомерное". Операции над упорядоченными последовательностями классов высоты также включают транспозицию и инверсию, а также ретроградность и ротацию. Ретроградирование упорядоченной последовательности меняет порядок ее элементов на обратный. Ротация упорядоченной последовательности эквивалентна циклической перестановке. Транспозицию и инверсию можно представить как элементарные арифметические операции. Если *x* – число, представляющее класс высоты, его транспозиция на *n* полутонов записывается как T = *x* + *n* mod 12. Инверсия соответствует отражению относительно некоторой фиксированной точки в пространстве классов высоты. Если *x* – класс высоты, то инверсия с индексом *n* записывается как I = (*a* – *x*) mod 12.

The basic operations that may be performed on a set are transposition and inversion. Sets related by transposition or inversion are said to be transpositionally related or inversionally related, and to belong to the same set class. Since transposition and inversion are isometries of pitch class space, they preserve the intervallic structure of a set, even if they do not preserve the musical character (i. e. the physical reality) of the elements of the set. This can be considered the central postulate of musical set theory. In practice, set theoretic musical analysis often consists in the identification of non obvious transpositional or inversional relationships between sets found in a piece. Some authors consider the operations of complementation and multiplication as well. The complement of set X is the set consisting of all the pitch classes not contained in X. The product of two pitch classes is the product of their pitch class numbers modulo 12. Since complementation and multiplication are not isometries of pitch class space, they do not necessarily preserve the musical character of the objects they transform. Other writers, such as Allen Forte, have emphasized the Z relation, which obtains between two sets that share the same total interval content, or interval vector—but are not transpositionally or inversionally equivalent. Another name for this relationship, used by Hanson, is "isomeric". Operations on ordered sequences of pitch classes also include transposition and inversion, as well as retrograde and rotation. Retrograding an ordered sequence reverses the order of its elements. Rotation of an ordered sequence is equivalent to cyclic permutation. Transposition and inversion can be represented as elementary arithmetic operations. If is a number representing a pitch class, its transposition by semitones is written T = + mod 12. Inversion corresponds to reflection around some fixed point in pitch class space. If is a pitch class, the inversion with index number is written I = mod 12.

Отношение эквивалентности

Для того чтобы отношение в множестве S являлось отношением эквивалентности [в алгебре], оно должно удовлетворять трем условиям: оно должно быть рефлексивным, симметричным и транзитивным. Действительно, неформальное представление об эквивалентности всегда было частью теории и анализа музыки. Однако теория множеств PC придерживается формальных определений эквивалентности.

Симметрии

Количество различных операций в системе, отображающих множество само на себя, является степенью симметрии множества. Степень симметрии определяет количество операций, сохраняющих неупорядоченные наборы тональных классов в разбиении; она показывает, в какой степени наборы тональных классов данного разбиения переходят друг в друга при транспозиции или инверсии. Каждое множество обладает как минимум одной симметрией, поскольку оно отображается само на себя посредством тождественной операции T. Транспозиционно симметричные множества отображаются сами на себя при T, где не равно 0 (по модулю 12). Инверсионно симметричные множества отображаются сами на себя при TI. Для любого типа T/TI все множества имеют одинаковую степень симметрии. Количество различных множеств в типе равно 24 (общее количество операций транспозиции и инверсии для n от 0 до 11), деленному на степень симметрии типа T/TI. Транспозиционно симметричные множества либо равномерно делят октаву, либо могут быть представлены как объединение множеств одинакового размера, каждое из которых само по себе равномерно делит октаву. Инверсионно симметричные аккорды инвариантны относительно отражений в пространстве тональных классов. Это означает, что аккорды можно упорядочить циклически таким образом, чтобы последовательность интервалов между последовательными нотами была одинаковой при чтении в прямом и обратном направлении. Например, в циклическом порядке (0, 1, 2, 7) интервал между первой и второй нотами равен 1, между второй и третьей – 1, между третьей и четвертой – 5, а между четвертой и первой – 5. Та же последовательность получается, если начать с третьего элемента ряда и двигаться назад: интервал между третьим и вторым элементами равен 1, между вторым и первым – 1, между первым и четвертым – 5, а между последним и третьим – 5. Таким образом, симметрия обнаруживается между T0 и T2I, и в классе эквивалентности T/TI содержится 12 множеств.

The number of distinct operations in a system that map a set into itself is the set's degree of symmetry. The degree of symmetry, "specifies the number of operations that preserve the unordered pcsets of a partition; it tells the extent to which that partition's pitch class sets map into (or onto) each other under transposition or inversion". Every set has at least one symmetry, as it maps onto itself under the identity operation T. Transpositionally symmetric sets map onto themselves for T where does not equal 0 (mod 12). Inversionally symmetric sets map onto themselves under TI. For any given T/TI type all sets have the same degree of symmetry. The number of distinct sets in a type is 24 (the total number of operations, transposition and inversion, for n = 0 through 11) divided by the degree of symmetry of T/TI type. Transpositionally symmetrical sets either divide the octave evenly, or can be written as the union of equally sized sets that themselves divide the octave evenly. Inversionally symmetrical chords are invariant under reflections in pitch class space. This means that the chords can be ordered cyclically so that the series of intervals between successive notes is the same read forward or backward. For instance, in the cyclical ordering (0, 1, 2, 7), the interval between the first and second note is 1, the interval between the second and third note is 1, the interval between the third and fourth note is 5, and the interval between the fourth note and the first note is 5. One obtains the same sequence if one starts with the third element of the series and moves backward: the interval between the third element of the series and the second is 1; the interval between the second element of the series and the first is 1; the interval between the first element of the series and the fourth is 5; and the interval between the last element of the series and the third element is 5. Symmetry is therefore found between T0 and T2I, and there are 12 sets in the T/TI equivalence class.