Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Кванттық көп денелік проблеманың тұжырымдамасы
Formulation of the quantum many body problem
Екінші кванттау, сонымен қатар, оккупациялық сан өрнектемесі деп аталады, кванттық көп денелік жүйелерді сипаттау және талдау үшін қолданылатын формализм. Кванттық өріс теориясында ол канондық кванттау деп аталады, онда өрістер (әдетте материяның толқындық функциялары ретінде) физикалық шамалардың (қозғалыс, импульс және т.б.) бірінші кванттаудағы операторлар сияқты операторлар ретінде қарастырылады. Бұл әдістің негізгі идеяларын 1927 жылы Пол Дирак енгізді, ал кейіннен Паскуаль Джордан және Владимир Фок одан әрі дамытты. Бұл тәсілде кванттық көп дене күйлері Фок күйі негізінде бейнеленеді, олар әрбір жеке бөлшектің күйін белгілі бір сандағы бірдей бөлшектермен толтыру арқылы құрылады. Екінші кванттау формализмі Фок күйлерін құру және басқару үшін жарату және жою операторларын енгізеді, бұл кванттық көп дене теориясын зерттеуге пайдалы құралдар ұсынады.
Second quantization, also referred to as occupation number representation, is a formalism used to describe and analyze quantum many body systems. In quantum field theory, it is known as canonical quantization, in which the fields (typically as the wave functions of matter) are thought of as field operators, in a manner similar to how the physical quantities (position, momentum, etc.) are thought of as operators in first quantization. The key ideas of this method were introduced in 1927 by Paul Dirac, and were later developed, most notably, by Pascual Jordan and Vladimir Fock. In this approach, the quantum many body states are represented in the Fock state basis, which are constructed by filling up each single particle state with a certain number of identical particles. The second quantization formalism introduces the creation and annihilation operators to construct and handle the Fock states, providing useful tools to the study of the quantum many body theory.
Құрылыс және жою операторлары
Көп дене жүйесіне бөлшекті қосу немесе алып тастау үшін жарату және жою операторлары енгізіледі. Бұл операторлар екінші кванттау формализмінің негізгі құралы болып табылады, бірінші және екінші квантталған күйлер арасындағы байланысты қамтамасыз етеді. Бірінші квантталған көп денелі толқындық функцияға жарату (жою) операторын қолдану, бөлшектің статистикасына сәйкес, толқындық функцияға бір бөлшектік күйді симметриялық түрде қосады (жояды). Ал, барлық екінші квантталған Фок күйлерін вакуумдық күйге жарату операторларын қайталап қолдану арқылы құруға болады. Бозондар үшін жарату және жою операторлары бастапқыда кванттық гармоникалық осциллятор контекстінде көтеру және төмендету операторлары ретінде құрастырылып, кейін кванттық өріс теориясындағы өріс операторларына жалпыландырылды. Олар кванттық көп дене теориясының фундаменталды элементтері болып табылады, себебі кез келген көп дене операторы (көп дене жүйесінің Гамильтонианы және барлық физикалық шамалар) олар арқылы өрнектеле алады.
The creation and annihilation operators are introduced to add or remove a particle from the many body system. These operators lie at the core of the second quantization formalism, bridging the gap between the first and the second quantized states. Applying the creation (annihilation) operator to a first quantized many body wave function will insert (delete) a single particle state from the wave function in a symmetrized way depending on the particle statistics. On the other hand, all the second quantized Fock states can be constructed by applying the creation operators to the vacuum state repeatedly. The creation and annihilation operators (for bosons) are originally constructed in the context of the quantum harmonic oscillator as the raising and lowering operators, which are then generalized to the field operators in the quantum field theory. They are fundamental to the quantum many body theory, in the sense that every many body operator (including the Hamiltonian of the many body system and all the physical observables) can be expressed in terms of them.
Кіргізу және өшіру операциясы
Бөлшектің пайда болуы мен жойылуы бірінші квантталған толқын функциясының бір бөлшектік күйін симметриялық немесе антисимметриялық түрде қосу және алу арқылы іске асырылады. болып белгіленген бір бөлшектік күй болсын, 1 – тензорлық сәйкестік (бұл нөлдік бөлшектік кеңістік C генераторы және фундаменталды Гилберт кеңістігі үстіндегі тензорлық алгебрада орындалады), ал – жалпы тензорлық көбейтінді күйі болсын. Қосу және алу операторлары келесі рекурсивті теңдеулермен анықталатын сызықтық операторлар болып табылады.
The creation and annihilation of a particle is implemented by the insertion and deletion of the single particle state from the first quantized wave function in an either symmetric or anti symmetric manner. Let be a single particle state, let 1 be the tensor identity (it is the generator of the zero particle space C and satisfies in the tensor algebra over the fundamental Hilbert space), and let be a generic tensor product state. The insertion and the deletion operators are linear operators defined by the following recursive equations
Мұнда – Кронекер дельта символы, егер болса 1, ал болмаса 0 мәнін береді. Қосу немесе алу операторларының төменгі индексі симметрияландырудың (бозондар үшін) немесе антисимметрияландырудың (фермиондар үшін) қолданылуын көрсетеді.
Here is the Kronecker delta symbol, which gives 1 if , and 0 otherwise. The subscript of the insertion or deletion operators indicates whether symmetrization (for bosons) or anti symmetrization (for fermions) is implemented.
Бозонды құру және жою операторлары
Бозонның пайда болуы (сәйкесінше, жойылуы) операторы әдетте (сәйкесінше, ) деп белгіленеді. Пайда болу операторы бір бөлшектік күйге бозон қосады, ал жойылу операторы бір бөлшектік күйден бозонды алып тастайды. Пайда болу және жойылу операторлары бір-біріне гермиттік түйіндес, бірақ олардың ешқайсысы да гермиттік операторлар емес.
The boson creation (resp. annihilation) operator is usually denoted as (resp. ). The creation operator adds a boson to the single particle state , and the annihilation operator removes a boson from the single particle state The creation and annihilation operators are Hermitian conjugate to each other, but neither of them are Hermitian operators .
Фермионды құру және жою операторлары
Фермионды құру (жойылған) операторы әдетте былай белгіленеді: . Құру операторы бір бөлшектік күйге фермион қосады, ал жойылған оператор бір бөлшектік күйден фермионды алып тастайды.
The fermion creation (annihilation) operator is usually denoted as The creation operator adds a fermion to the single particle state , and the annihilation operator removes a fermion from the single particle state .
Номенклатураға қатысты түсініктеме
Иордан енгізген "екінші кванттау" термині тарихи себептермен қалыптасқан бұрыс атау. Кванттық өріс теориясының бастапқы кезеңінде Дирак теңдеуі классикалық спинор өрісін емес, релятивистік толқындық функцияны сипаттайды деп жаңылысқандар (содан ескірген "Дирак теңізі" түсінігі пайда болды), ал осы спинор өрісі квантталғанда (скаляр өрісі сияқты) фермиондық квант өрісін (бозондық квант өрісіне қарама-қарсы) тудырады. "Екінші" деген сөз ұғындырғандай, бұл "қайта кванттау" емес; квантталатын өріс – бөлшекті кванттау нәтижесінде пайда болған Шредингер толқындық функциясы емес, бұрын квантталмаған классикалық өріс (мысалы, электромагниттік өріс немесе Дирак спинор өрісі), әдетте, байланысқан тербелістердің жиынтығы. Біз тек осы жиынтықтағы әрбір тербелісті кванттаймыз, жүйені жартылай классикалық сипаттаудан толыққанды кванттық-механикалық сипаттауға көшіреміз.
The term "second quantization", introduced by Jordan, is a misnomer that has persisted for historical reasons. At the origin of quantum field theory, it was inappositely thought that the Dirac equation described a relativistic wavefunction (hence the obsolete "Dirac sea" interpretation), rather than a classical spinor field which, when quantized (like the scalar field), yielded a fermionic quantum field (vs. a bosonic quantum field). One is not quantizing "again", as the term "second" might suggest; the field that is being quantized is not a Schrödinger wave function that was produced as the result of quantizing a particle, but is a classical field (such as the electromagnetic field or Dirac spinor field), essentially an assembly of coupled oscillators, that was not previously quantized. One is merely quantizing each oscillator in this assembly, shifting from a semiclassical treatment of the system to a fully quantum mechanical one.