Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Формулировка проблемы квантовых многих тел
Formulation of the quantum many body problem
Вторая квантизация, также известная как представление числа заполнения, — это формализм, используемый для описания и анализа квантовых систем, состоящих из многих частиц. В квантовой теории поля она известна как каноническая квантизация, в которой поля (обычно представляющие собой волновые функции материи) рассматриваются как операторы поля, аналогично тому, как физические величины (положение, импульс и т. д.) рассматриваются как операторы в первой квантизации. Ключевые идеи этого метода были введены в 1927 году Полом Дираком и впоследствии развиты, в частности, Паскуалем Джорданом и Владимиром Фоком. В этом подходе квантовые многочастичные состояния представляются в базисе состояний Фока, которые строятся путем заполнения каждого одночастичного состояния определенным числом идентичных частиц. Формализм второй квантизации вводит операторы рождения и уничтожения для построения и манипулирования состояниями Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.
Second quantization, also referred to as occupation number representation, is a formalism used to describe and analyze quantum many body systems. In quantum field theory, it is known as canonical quantization, in which the fields (typically as the wave functions of matter) are thought of as field operators, in a manner similar to how the physical quantities (position, momentum, etc.) are thought of as operators in first quantization. The key ideas of this method were introduced in 1927 by Paul Dirac, and were later developed, most notably, by Pascual Jordan and Vladimir Fock. In this approach, the quantum many body states are represented in the Fock state basis, which are constructed by filling up each single particle state with a certain number of identical particles. The second quantization formalism introduces the creation and annihilation operators to construct and handle the Fock states, providing useful tools to the study of the quantum many body theory.
Операторы по созданию и уничтожению
Операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частицы из многотельной системы. Эти операторы лежат в основе формализма второго квантования, устанавливая связь между состояниями, полученными первым и вторым квантованием. Применение оператора создания (уничтожения) к волновой функции многих тел, полученной первым квантованием, вставит (удалит) в волновую функцию одночастичное состояние с учётом симметризации, определяемой статистикой частиц. С другой стороны, все состояния Фока второго квантования могут быть построены путём многократного применения операторов создания к вакуумному состоянию. Операторы создания и уничтожения (для бозонов) первоначально были введены в контексте квантового гармонического осциллятора как операторы повышения и понижения, которые затем были обобщены на полевые операторы в квантовой теории поля. Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел, поскольку любой оператор, действующий на многотельную систему (включая гамильтониан и все физические наблюдаемые), может быть выражен через них.
The creation and annihilation operators are introduced to add or remove a particle from the many body system. These operators lie at the core of the second quantization formalism, bridging the gap between the first and the second quantized states. Applying the creation (annihilation) operator to a first quantized many body wave function will insert (delete) a single particle state from the wave function in a symmetrized way depending on the particle statistics. On the other hand, all the second quantized Fock states can be constructed by applying the creation operators to the vacuum state repeatedly. The creation and annihilation operators (for bosons) are originally constructed in the context of the quantum harmonic oscillator as the raising and lowering operators, which are then generalized to the field operators in the quantum field theory. They are fundamental to the quantum many body theory, in the sense that every many body operator (including the Hamiltonian of the many body system and all the physical observables) can be expressed in terms of them.
Операция вставки и удаления
Создание и уничтожение частицы реализуется посредством вставки и удаления состояния одной частицы из первой квантованной волновой функции симметричным или антисимметричным образом. Пусть – состояние одной частицы, пусть 1 – тензорная единица (является генератором нулевого пространства частиц C и удовлетворяет в тензорной алгебре над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть – произвольное состояние тензорного произведения. Операторы вставки и удаления – это линейные операторы, определяемые следующими рекуррентными уравнениями.
The creation and annihilation of a particle is implemented by the insertion and deletion of the single particle state from the first quantized wave function in an either symmetric or anti symmetric manner. Let be a single particle state, let 1 be the tensor identity (it is the generator of the zero particle space C and satisfies in the tensor algebra over the fundamental Hilbert space), and let be a generic tensor product state. The insertion and the deletion operators are linear operators defined by the following recursive equations
Здесь – символ Кронекера, который равен 1, если , и 0 в противном случае. Индекс у операторов вставки или удаления указывает, выполняется ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация (для фермионов).
Here is the Kronecker delta symbol, which gives 1 if , and 0 otherwise. The subscript of the insertion or deletion operators indicates whether symmetrization (for bosons) or anti symmetrization (for fermions) is implemented.
Операторы создания и уничтожения бозонов
Создание бозона (соответственно, анигиляция) обычно обозначается как (соответственно, ). Оператор создания добавляет бозон к состоянию одной частицы , а оператор аннигиляции удаляет бозон из состояния одной частицы . Операторы создания и аннигиляции являются эрмитовыми сопряжёнными друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором.
The boson creation (resp. annihilation) operator is usually denoted as (resp. ). The creation operator adds a boson to the single particle state , and the annihilation operator removes a boson from the single particle state The creation and annihilation operators are Hermitian conjugate to each other, but neither of them are Hermitian operators .
Операторы создания и уничтожения фермионов
Оператор создания фермиона (аннигиляции) обычно обозначается как . Оператор создания добавляет фермион в одночастичное состояние , а оператор аннигиляции удаляет фермион из одночастичного состояния .
The fermion creation (annihilation) operator is usually denoted as The creation operator adds a fermion to the single particle state , and the annihilation operator removes a fermion from the single particle state .
Комментарий к номенклатуре
Термин "вторая квантизация", введенный Джорданом, – это неудачное название, сохранившееся по историческим причинам. На заре квантовой теории поля ошибочно полагали, что уравнение Дирака описывает релятивистскую волновую функцию (отсюда устаревшая интерпретация "моря Дирака"), а не классическое спинорное поле, которое при квантовании (подобно скалярному полю) приводит к фермионному квантовому полю (в отличие от бозонного квантового поля). Речь не идет о повторном квантовании, как может подразумевать термин "вторая"; поле, которое подвергается квантованию, – это не волновая функция Шрёдингера, полученная в результате квантования частицы, а классическое поле (например, электромагнитное поле или спинорное поле Дирака), по сути, совокупность связанных осцилляторов, которая ранее не квантовалась. Фактически, квантуется каждый осциллятор в этой совокупности, осуществляя переход от полуклассического описания системы к полностью квантово-механическому.
The term "second quantization", introduced by Jordan, is a misnomer that has persisted for historical reasons. At the origin of quantum field theory, it was inappositely thought that the Dirac equation described a relativistic wavefunction (hence the obsolete "Dirac sea" interpretation), rather than a classical spinor field which, when quantized (like the scalar field), yielded a fermionic quantum field (vs. a bosonic quantum field). One is not quantizing "again", as the term "second" might suggest; the field that is being quantized is not a Schrödinger wave function that was produced as the result of quantizing a particle, but is a classical field (such as the electromagnetic field or Dirac spinor field), essentially an assembly of coupled oscillators, that was not previously quantized. One is merely quantizing each oscillator in this assembly, shifting from a semiclassical treatment of the system to a fully quantum mechanical one.