Кіріспе
Математикада тегіс функциялар (сонымен қатар шексіз дифференциалданатын функциялар деп аталады) және аналитикалық функциялар – функциялардың екі өте маңызды түрі. Нақты аргументі бар кез келген аналитикалық функцияның тегіс екенін оңай дәлелдеуге болады. Бірақ керісінше дұрыс емес, төмендегі контрпример оны көрсетеді. Тегіс функциялардың компактты қолдауының ең маңызды қолданыстарының бірі – моллификаторларды құру, олар жалпыланған функциялар теориясында, мысалы, Лоран Шварцтің үлестірулер теориясында маңызды рөл атқарады. Тегіс, бірақ аналитикалық емес функциялардың болуы – дифференциалдық геометрия мен аналитикалық геометрия арасындағы басты айырмашылықтардың бірі. Шеф теориясы тұрғысынан, бұл айырмашылықты былай түсіндіруге болады: дифференциалданатын көптүрліліктегі дифференциалданатын функциялардың шефі, аналитикалық жағдаймен салыстырғанда, жақсы. Төмендегі функциялар көбінесе дифференциалданатын көптүрліліктерде біртүтас бөліктерді құру үшін қолданылады.
In mathematics, smooth functions (also called infinitely differentiable functions) and analytic functions are two very important types of functions. One can easily prove that any analytic function of a real argument is smooth. The converse is not true, as demonstrated with the counterexample below. One of the most important applications of smooth functions with compact support is the construction of so called mollifiers, which are important in theories of generalized functions, such as Laurent Schwartz's theory of distributions. The existence of smooth but non analytic functions represents one of the main differences between differential geometry and analytic geometry. In terms of sheaf theory, this difference can be stated as follows: the sheaf of differentiable functions on a differentiable manifold is fine, in contrast with the analytic case. The functions below are generally used to build up partitions of unity on differentiable manifolds.
Функция аналитикалық емес
Жоғарыда көрсетілгендей, f функциясы тегіс, және оның бастапқы нүктедегі барлық туындылары 0-ге тең. Сондықтан, f функциясының бастапқы нүктедегі Тейлор қатары барлық жерде нөлдік функцияға жинақталады,
сондықтан Тейлор қатары x > 0 үшін f(x)-қа тең емес. Осыдан келіп, f функциясы бастапқы нүктеде аналитикалық емес.
Шын мәнінде аналитикалық емес тегіс функция
Патологиялық мысал – кез келген нүктеде аналитикалық емес, бірақ шексіз дифференциалданатын функция. Оны Фурье қатары арқылы келесідей құрастыруға болады. Барлық үшін анықтаңыз , себебі қатар барлық үшін жақындасады, сондықтан бұл функция стандартты индуктивті тәсілмен Вейерштрасс M тестін қолдану арқылы әр туындылар қатарының біркелкі жақындасуын көрсетуге болады, демек C∞ класына жатады. Енді біз π-нің кез келген диадтық рационалды бөлшегінде, яғни кез келген және үшін аналитикалық емес екенін көрсетейік. Бірінші мүшелердің қосындысы аналитикалық болғандықтан, тек қана қарастыру жеткілікті, яғни мүшелердің қосындысы үшін. Барлық туынды реті үшін және бізде бар, мұнда барлық үшін осы фактіні пайдаландық және бірінші қосындыны төменнен мүшемен шектедік. Осының салдарынан, кез келген мұндай нүктеде, сондықтан Коши-Адамар формуласы бойынша нүктесіндегі Тейлор қатарының радиусы 0-ге тең. Функцияның аналитикалық аймағы ашық жиын болғандықтан және диадтық рационалдар тығыздыққа ие болғандықтан, біз қорытындылаймыз, және де , ешқандай жерде аналитикалық емес.
Since the series converges for all , this function is easily seen to be of class C∞, by a standard inductive application of the Weierstrass M test to demonstrate uniform convergence of each series of derivatives. We now show that is not analytic at any dyadic rational multiple of π, that is, at any with and Since the sum of the first terms is analytic, we need only consider , the sum of the terms with For all orders of derivation with , and we have
where we used the fact that for all , and we bounded the first sum from below by the term with As a consequence, at any such
so that the radius of convergence of the Taylor series of at is 0 by the Cauchy Hadamard formula. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are dense, we conclude that , and hence , is nowhere analytic in .