Введение
Математические функции, которые гладкие, но не аналитические.
В математике гладкие функции (также называемые бесконечно дифференцируемыми функциями) и аналитические функции — два очень важных типа функций. Легко доказать, что любая аналитическая функция вещественного аргумента является гладкой. Обратное неверно, что демонстрируется приведенным ниже контрпримером. Одним из важнейших применений гладких функций с компактным носителем является построение так называемых моллификаторов, которые играют важную роль в теориях обобщенных функций, таких как теория распределений Лорана Шварца. Существование гладких, но не аналитических функций является одним из ключевых различий между дифференциальной и аналитической геометрией. В терминах теории пучков это различие можно сформулировать следующим образом: пучок дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии является тонким, в отличие от аналитического случая. Приведенные ниже функции обычно используются для построения разбиений единицы на дифференцируемых многообразиях.
In mathematics, smooth functions (also called infinitely differentiable functions) and analytic functions are two very important types of functions. One can easily prove that any analytic function of a real argument is smooth. The converse is not true, as demonstrated with the counterexample below. One of the most important applications of smooth functions with compact support is the construction of so called mollifiers, which are important in theories of generalized functions, such as Laurent Schwartz's theory of distributions. The existence of smooth but non analytic functions represents one of the main differences between differential geometry and analytic geometry. In terms of sheaf theory, this difference can be stated as follows: the sheaf of differentiable functions on a differentiable manifold is fine, in contrast with the analytic case. The functions below are generally used to build up partitions of unity on differentiable manifolds.
Функция не является аналитической
Как мы видели ранее, функция f гладкая, и все её производные в начале координат равны 0. Следовательно, ряд Тейлора функции f в начале координат сходится всюду к нулевой функции, и, таким образом, ряд Тейлора не совпадает с f(x) при x > 0. Значит, функция f не является аналитической в начале координат.
and so the Taylor series does not equal f(x) for x > 0. Consequently, f is not analytic at the origin.
Гладкая функция, которая нигде не является реальным аналитическим
Более патологическим примером является бесконечно дифференцируемая функция, которая не является аналитической ни в одной точке. Её можно построить с помощью ряда Фурье следующим образом. Определим для всех
Since the series converges for all , this function is easily seen to be of class C∞, by a standard inductive application of the Weierstrass M test to demonstrate uniform convergence of each series of derivatives. We now show that is not analytic at any dyadic rational multiple of π, that is, at any with and Since the sum of the first terms is analytic, we need only consider , the sum of the terms with For all orders of derivation with , and we have
where we used the fact that for all , and we bounded the first sum from below by the term with As a consequence, at any such
so that the radius of convergence of the Taylor series of at is 0 by the Cauchy Hadamard formula. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are dense, we conclude that , and hence , is nowhere analytic in .
Поскольку ряд сходится для всех , эта функция легко оказывается классом C∞, посредством стандартного индуктивного применения критерия Вейерштрасса M для демонстрации равномерной сходимости каждой серии производных. Теперь покажем, что не является аналитической ни в одном диическом рациональном кратном π, то есть, ни в одном из с и Поскольку сумма первых членов является аналитической, нам нужно рассмотреть только , сумму членов с Для всех порядков дифференцирования с , и у нас есть, где мы использовали тот факт, что для всех , и мы оценили первую сумму снизу членом с Как следствие, в любой такой точке
Since the series converges for all , this function is easily seen to be of class C∞, by a standard inductive application of the Weierstrass M test to demonstrate uniform convergence of each series of derivatives. We now show that is not analytic at any dyadic rational multiple of π, that is, at any with and Since the sum of the first terms is analytic, we need only consider , the sum of the terms with For all orders of derivation with , and we have
where we used the fact that for all , and we bounded the first sum from below by the term with As a consequence, at any such
so that the radius of convergence of the Taylor series of at is 0 by the Cauchy Hadamard formula. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are dense, we conclude that , and hence , is nowhere analytic in .
следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора функции в равен 0 по формуле Коши — Адамара. Поскольку множество точек аналитичности функции является открытым множеством, а поскольку диические рациональные числа плотны, заключаем, что , и, следовательно, нигде не является аналитической в .
Since the series converges for all , this function is easily seen to be of class C∞, by a standard inductive application of the Weierstrass M test to demonstrate uniform convergence of each series of derivatives. We now show that is not analytic at any dyadic rational multiple of π, that is, at any with and Since the sum of the first terms is analytic, we need only consider , the sum of the terms with For all orders of derivation with , and we have
where we used the fact that for all , and we bounded the first sum from below by the term with As a consequence, at any such
so that the radius of convergence of the Taylor series of at is 0 by the Cauchy Hadamard formula. Since the set of analyticity of a function is an open set, and since dyadic rationals are dense, we conclude that , and hence , is nowhere analytic in .