Кіріспе
Матрицалық қатарлар теоремасы
Математикада (әсіресе сызықтық алгебрада) Макс А. Вудбери есімімен аталған Вудбери матрицалық сәйкестігі, бір матрицаның k-дәрежелі түзетуінің керісін бастапқы матрицаның керісіне k-дәрежелі түзету жасау арқылы есептеуге болатынын айтады. Бұл формуланың басқа атаулары – матрицалық инверсия леммасы, Шерман-Моррисон-Вудбери формуласы немесе жай ғана Вудбери формуласы. Дегенмен, бұл сәйкестік Вудбери есебінен бұрын бірнеше мақалада жарияланған. Вудбери матрицалық сәйкестігі мына түрде келеді:
In mathematics (specifically linear algebra), the Woodbury matrix identity, named after Max A. Woodbury, says that the inverse of a rank k correction of some matrix can be computed by doing a rank k correction to the inverse of the original matrix. Alternative names for this formula are the matrix inversion lemma, Sherman–Morrison–Woodbury formula or just Woodbury formula. However, the identity appeared in several papers before the Woodbury report. The Woodbury matrix identity is
мұнда A, U, C және V сәйкес келетін матрицалар: A – n×n, C – k×k, U – n×k, ал V – k×n. Бұл блок бойынша матрицалық инверсия қолдану арқылы шығарылуы мүмкін. Бұл сәйкестік негізінен матрицалар үшін қолданылса да, ол жалпы сақинада немесе Ab санатында да қолданылады. Вудбери матрицалық сәйкестігі кері шамаларды және сызықтық теңдеулердің шешімдерін тиімді есептеуге мүмкіндік береді. Алайда, формуланың сандық тұрақтылығы туралы көп мәлімет жоқ. Оның қателік шегін анықтайтын жарияланған нәтижелер жоқ. Көрсетілген мысалдар оның тіпті сырттай қарағанда жақсы жағдайға келтірілген матрицалар үшін де (бастапқы және өзгертілген матрицалар үшін) тұрақсыз болуы мүмкін екенін көрсетеді.
Оң жартылай нақты матрицалармен псевдоинверс
Жалпы алғанда, Вудбери сәйкестігі егер бір немесе бірнеше кері шамалар (Мур – Пенроуз) псевдокері шамаларымен алмастырылса, жарамсыз болады. Дегенмен, егер және оң жартылай белгілі болса, және (бұл шаманың өзі оң жартылай белгілі екенін білдіреді), онда келесі формула мынадай жалпылауды ұсынады: мұнда кез келген оң жартылай белгілі матрицаны кейбір үшін тең деп жазуға болады.
where can be written as because any positive semidefinite matrix is equal to for some .
Қолданбалар
Бұл тепе-теңдік белгілі бір сандық есептеулерде пайдалы, онда A⁻¹ есептелген және (A + UCV)⁻¹ есептеу қажет. A-ның керісі қолжетімді болса, тепе-теңдіктің оң жағын пайдаланып нәтиже алу үшін C⁻¹ + VA⁻¹U-дың керісін табу жеткілікті. Егер C-ның өлшемі A-дан әлдеқайда кіші болса, бұл A + UCV-ді тікелей керілендіруге қарағанда тиімдірек. Көбінесе кездесетін жағдай – A-ның төменгі дәрежелі түзетуі A + UCV-тің керісін табу (мұнда U-да аз ғана бағандар және V-де аз ғана қатарлар бар), немесе A + B матрицасының керісін табу, мұнда B матрицасын төменгі дәрежелі UCV матрицасымен, мысалы, жеке мәндерді жіктеу арқылы жуықтауға болады. Бұл, мысалы, Калман сүзгісі және рекурсивті ең кіші квадраттар әдістерінде, күй векторы өлшемді матрицаны керілендіруді талап ететін параметрлік шешімді, шарттық теңдеулерге негізделген шешіммен алмастыру үшін қолданылады. Калман сүзгісінде бұл матрица бақылау векторының өлшемдеріне ие, яғни, егер бір уақытта тек бір жаңа бақылау өңделсе, 1-ге тең болуы мүмкін. Бұл сүзгінің көбінесе нақты уақыт есептеуін айтарлықтай жылдамдатады. Егер C бірлік матрица I-ге тең болса, онда бұл матрица сандық сызықтық алгебра және сандық дербес дифференциалдық теңдеулерде сыйымдылық матрицасы ретінде белгілі.