Введение

Теорема о рангах матриц
В математике (в частности, в линейной алгебре) тождество Вудбери, названное в честь Макса А. Вудбери, утверждает, что обратную матрицу к матрице, к которой применена коррекция ранга k, можно вычислить, применив коррекцию ранга k к обратной исходной матрице. Альтернативные названия для этой формулы — лемма об инверсии матрицы, формула Шермана — Моррисона — Вудбери или просто формула Вудбери. Однако, данное тождество было опубликовано в нескольких работах до отчета Вудбери. Тождество Вудбери имеет вид:

где A, U, C и V — сопряженные матрицы: A имеет размер n×n, C — k×k, U — n×k, а V — k×n. Это можно вывести, используя блочное инвертирование матриц. Хотя тождество в основном используется для матриц, оно справедливо в общем кольце или в абелевой категории. Тождество Вудбери позволяет эффективно вычислять обратные матрицы и решения линейных уравнений. Однако мало что известно о численной устойчивости формулы. Нет опубликованных результатов относительно границ погрешности. Отдельные наблюдения показывают, что она может расходиться даже для, на первый взгляд, корректных примеров (когда как исходная, так и модифицированная матрицы хорошо обусловлены).

Псевдоинверс с положительными полуопределенными матрицами

В общем случае, тождество Вудбери не выполняется, если одна или несколько обратных матриц заменены псевдообратными (Мура — Пенроуза). Однако, если и являются положительно полуопределёнными, и (что влечёт за собой, что также является положительно полуопределённой), то следующая формула предоставляет обобщение:

где можно представить как , поскольку любая положительно полуопределённая матрица равна для некоторой матрицы .

Приложения

Эта тождественность полезна в определенных численных вычислениях, где A⁻¹ уже вычислен, и требуется вычислить (A + UCV)⁻¹. При наличии обратной матрицы A необходимо найти только обратную матрицы C⁻¹ + VA⁻¹U, чтобы получить результат, используя правую часть тождества. Если размерность C значительно меньше размерности A, это эффективнее, чем непосредственное вычисление обратной матрицы A + UCV. Типичным примером является нахождение обратной матрицы низкорангового обновления A + UCV матрицы A (где U имеет небольшое количество столбцов, а V – небольшое количество строк), или нахождение приближения обратной матрицы A + B, где матрицу B можно аппроксимировать низкоранговой матрицей UCV, например, с помощью сингулярного разложения. Это применяется, например, в фильтре Калмана и методах рекурсивных наименьших квадратов для замены параметрического решения, требующего обращения матрицы размером с вектор состояния, на решение, основанное на обусловленных уравнениях. В случае фильтра Калмана эта матрица имеет размерность вектора наблюдений, то есть может быть столь же мала, как 1, если обрабатывается только одно новое наблюдение за раз. Это значительно ускоряет часто выполняемые в реальном времени вычисления фильтра. В случае, когда C является единичной матрицей I, эта матрица известна в численной линейной алгебре и численных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных как матрица емкости.