Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулерді зерттеуде, шектік мәндер мәселесі – шектік шарттар деп аталатын шектеулерге бағынған дифференциалдық теңдеу. Шекаралық мәндер мәселесінің шешімі – дифференциалдық теңдеуді де, сонымен қатар шектік шарттарды да қанағаттандыратын функция. Шекаралық мәндер мәселелері физиканың көптеген салаларында кездеседі, себебі кез келген физикалық дифференциалдық теңдеуде олар болады. Мысалы, толқын теңдеуіне қатысты мәселелер, нормальді режимдерді анықтау сияқты, көбінесе шектік мәндер мәселелері ретінде қойылады. Шекаралық мәндер мәселелерінің маңызды классы – Штурм-Лиувилл мәселелері. Бұл мәселелерді талдау, сызықтық жағдайда, дифференциалдық оператордың өзіндік функцияларын қамтиды. Шекаралық мәндер мәселесінің қолдануда тиімді болуы үшін, ол дұрыс қойылған болуы керек. Яғни, мәселенің берілген шарттары бойынша бірегей шешім болуы керек, және ол шарттарға үздіріссіз тәуелді болуы керек. Қисма дифференциалдық теңдеулер саласындағы көптеген теориялық жұмыстар ғылыми және инженерлік қолданыстардан туындайтын шектік мәндер мәселелерінің дұрыс қойылғанын дәлелдеуге бағытталған. Ең ерте зерттелген шектік мәндер мәселелерінің бірі – Дирихле мәселесі, гармоникалық функцияларды табу (Лаплас теңдеуінің шешімдері); оның шешімі Дирихле принципі арқылы берілген.
In the study of differential equations, a boundary value problem is a differential equation subjected to constraints called boundary conditions. A solution to a boundary value problem is a solution to the differential equation which also satisfies the boundary conditions. Boundary value problems arise in several branches of physics as any physical differential equation will have them. Problems involving the wave equation, such as the determination of normal modes, are often stated as boundary value problems. A large class of important boundary value problems are the Sturm–Liouville problems. The analysis of these problems, in the linear case, involves the eigenfunctions of a differential operator. To be useful in applications, a boundary value problem should be well posed. This means that given the input to the problem there exists a unique solution, which depends continuously on the input. Much theoretical work in the field of partial differential equations is devoted to proving that boundary value problems arising from scientific and engineering applications are in fact well posed. Among the earliest boundary value problems to be studied is the Dirichlet problem, of finding the harmonic functions (solutions to Laplace's equation); the solution was given by the Dirichlet's principle.
Шекаралық мән шарттары
Функцияның өзінің мәнін анықтайтын шекаралық шарт Дирихлет шекаралық шарты немесе бірінші типті шекаралық шарт деп аталады. Мысалы, егер темір таяқтың бір ұшы абсолюттік нөлге бекітілсе, онда проблеманың мәні кеңістіктегі сол нүктеде белгілі болады. Функцияның нормальды туындысының мәнін анықтайтын шекаралық шарт – Нейман шекаралық шарты немесе екінші типті шекаралық шарт. Мысалы, егер темір таяқтың бір шетінде жылытқыш орналасқан болса, энергия тұрақты жылдамдықпен қосылады, бірақ нақты температура белгісіз болады. Егер шекара нормальды туындыға және айнымалының өзіне мән беретін қисық немесе бет түрінде болса, онда ол Коши шекаралық шарты болып табылады.
Дифференциалдық операторлар
Шекаралық жағдайдан басқа, шекаралық мәндер есептері қолданылатын дифференциалдық оператор түріне қарай да жіктеледі. Эллиптикалық оператор үшін эллиптикалық шекаралық мәндер есептері қарастырылады. Гиперболалық оператор үшін гиперболалық шекаралық мәндер есептері талқыланады. Бұл санаттар сызықтық және түрлі сызықтық емес түрлерге бөлінеді.
Электромагниттік потенциал
Электростатикада, жиі кездесетін мәселе – берілген аймақтың электр потенциалын сипаттайтын функцияны табу. Егер аймақта заряд болмаса, потенциал Лаплас теңдеуінің (сонымен қатар гармониялық функция деп аталатын) шешімі болуы керек. Бұл жағдайдағы шекаралық шарттар – электромагниттік өрістерге арналған интерфейс шарттары. Аймақта ток тығыздығы болмаса, ұқсас процедураны қолданып магниттік скалярлық потенциалды анықтау да мүмкін.