Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип задачи, включающий ОДУ или УЧП
Type of problem involving ODEs or PDEs
В изучении дифференциальных уравнений, краевая задача – это дифференциальное уравнение, которому заданы ограничения, называемые краевыми условиями. Решение краевой задачи – это решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет краевым условиям. Краевые задачи возникают во многих областях физики, поскольку любое физическое дифференциальное уравнение имеет их. Задачи, связанные с волновым уравнением, такие как определение нормальных мод, часто формулируются как краевые задачи. Важным классом краевых задач являются задачи Штурма-Лиувилля. Анализ этих задач в линейном случае включает в себя собственные функции дифференциального оператора. Для применимости краевая задача должна быть корректно поставлена. Это означает, что для заданных входных данных существует единственное решение, которое непрерывно зависит от этих данных. Значительная часть теоретических работ в области уравнений в частных производных посвящена доказательству корректной постановки краевых задач, возникающих в научных и инженерных приложениях. Одной из первых краевых задач, подвергшихся изучению, является задача Дирихле, заключающаяся в нахождении гармонических функций (решений уравнения Лапласа); решение было получено с помощью принципа Дирихле.
In the study of differential equations, a boundary value problem is a differential equation subjected to constraints called boundary conditions. A solution to a boundary value problem is a solution to the differential equation which also satisfies the boundary conditions. Boundary value problems arise in several branches of physics as any physical differential equation will have them. Problems involving the wave equation, such as the determination of normal modes, are often stated as boundary value problems. A large class of important boundary value problems are the Sturm–Liouville problems. The analysis of these problems, in the linear case, involves the eigenfunctions of a differential operator. To be useful in applications, a boundary value problem should be well posed. This means that given the input to the problem there exists a unique solution, which depends continuously on the input. Much theoretical work in the field of partial differential equations is devoted to proving that boundary value problems arising from scientific and engineering applications are in fact well posed. Among the earliest boundary value problems to be studied is the Dirichlet problem, of finding the harmonic functions (solutions to Laplace's equation); the solution was given by the Dirichlet's principle.
Условия пограничной стоимости
Пограничное условие, которое задает значение самой функции, называется граничным условием Дирихле, или граничным условием первого рода. Например, если один конец железного стержня поддерживается при абсолютном нуле, то значение решения будет известно в этой точке пространства. Граничное условие, которое задает значение нормальной производной функции, называется граничным условием Неймана, или граничным условием второго рода. Например, если на одном конце железного стержня находится нагреватель, то энергия будет подводиться с постоянной скоростью, но фактическая температура в этой точке не будет известна. Если граница задана в виде кривой или поверхности, определяющей значение как нормальной производной, так и самой функции, то это граничное условие Коши.
A boundary condition which specifies the value of the function itself is a Dirichlet boundary condition, or first type boundary condition. For example, if one end of an iron rod is held at absolute zero, then the value of the problem would be known at that point in space. A boundary condition which specifies the value of the normal derivative of the function is a Neumann boundary condition, or second type boundary condition. For example, if there is a heater at one end of an iron rod, then energy would be added at a constant rate but the actual temperature would not be known. If the boundary has the form of a curve or surface that gives a value to the normal derivative and the variable itself then it is a Cauchy boundary condition.
Дифференциальные операторы
Помимо граничного условия, краевые задачи также классифицируются в зависимости от типа используемого дифференциального оператора. Для эллиптического оператора рассматриваются эллиптические краевые задачи. Для гиперболического оператора рассматриваются гиперболические краевые задачи. Эти категории дополнительно подразделяются на линейные и различные нелинейные типы.
Aside from the boundary condition, boundary value problems are also classified according to the type of differential operator involved. For an elliptic operator, one discusses elliptic boundary value problems. For a hyperbolic operator, one discusses hyperbolic boundary value problems. These categories are further subdivided into linear and various nonlinear types.
Электромагнитный потенциал
В электростатике распространенной задачей является нахождение функции, описывающей электрический потенциал заданной области. Если область не содержит заряда, потенциал должен являться решением уравнения Лапласа (так называемой гармонической функции). В этом случае граничными условиями являются условия сопряжения для электромагнитных полей. Если в области отсутствует плотность тока, то можно также определить магнитный скалярный потенциал, используя аналогичную процедуру.
In electrostatics, a common problem is to find a function which describes the electric potential of a given region. If the region does not contain charge, the potential must be a solution to Laplace's equation (a so called harmonic function). The boundary conditions in this case are the Interface conditions for electromagnetic fields. If there is no current density in the region, it is also possible to define a magnetic scalar potential using a similar procedure.