Қауіпсіздіксіз өлшем: Математикалық қаржыдағы қолданылуы
Risk-neutral measure
Қаржы математикасында тәуекелсіз өлшем – актив бағасын күтілетін дисконтталған мәнімен теңестіретін ықтималдық шара. Деривативтерді бағалауда маңызды, арбитражсыз нарықта ғана қолданылады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Ықтималдық өлшемі
Probability measure
Математикалық қаржы саласында, тәуекелге бейтарап өлшем (сонымен қатар тепе-теңдік өлшемі немесе эквивалентті мартингейл өлшемі деп аталады) – бұл әрбір акция бағасы осы өлшем бойынша акция бағасының дисконтталған күтілім мәніне дәл тең болатын ықтималдық өлшемі. Бұл активтерді бағалаудың негізгі теоремасының арқасында қаржы туындыларының бағасын анықтауда кеңінен қолданылады, ол толық нарықта туындының бағасы – болашақ төлемнің уникалды тәуекелге бейтарап өлшем бойынша дисконтталған күтілетін мәні екенін көрсетеді. Мұндай өлшем тек қана нарықта арбитраж болмаған жағдайда ғана болады.
In mathematical finance, a risk neutral measure (also called an equilibrium measure, or equivalent martingale measure) is a probability measure such that each share price is exactly equal to the discounted expectation of the share price under this measure. This is heavily used in the pricing of financial derivatives due to the fundamental theorem of asset pricing, which implies that in a complete market, a derivative's price is the discounted expected value of the future payoff under the unique risk neutral measure. Such a measure exists if and only if the market is arbitrage free.
Активтердің бағасы олардың тәуекеліне тікелей байланысты, себебі инвесторлар көбірек тәуекелге көбірек үстеме кіріс талап етеді. Сондықтан, ертең жүзеге асырылатын тәуекелді сомаға қатысты талаптың бүгінгі бағасы, әдетте, оның күтілетін құнынан өзгеше болады. Көбінесе инвесторлар тәуекелден қашық болатындықтан, бүгінгі баға күтілетіннен төмен болады, бұл тәуекелді мойындағандарға сыйақы төлейді (кемінде ірі қаржы нарықтарында; тәуекелге құштар нарықтардың мысалы – казинолар мен лотереялар). Осылайша, активтерді бағалау үшін есептелген күтілетін құн инвестордың тәуекелге қатыстылығына сәйкес түзетілуі керек (Шарп коэффициентіне де қараңыз). Алайда, дисконттау ставкалары инвесторлар арасында әртүрлі болады және жеке тұлғаның тәуекелге қатыстылығын анықтау қиын. Толық нарықта арбитраж мүмкіндіктері болмаған жағдайда, есептеуді жүргізудің басқа жолы бар: алдымен күтілетін мәнді есептеп, содан кейін инвестордың тәуекелге қатыстылығын түзетудің орнына, болашақ нәтижелердің ықтималдығын бір рет түзету керек, осылайша барлық инвесторлардың тәуекелдік үстеме кірісін қамтуға болады, содан кейін осы жаңа ықтималдық таралу бойынша күтілетін мәнді есептеу керек, бұл тәуекелге бейтарап өлшем болады. Басты артықшылығы – тәуекелге бейтарап ықтималдықтар анықталғаннан кейін, кез келген активтің бағасын оның күтілетін пайдасының қазіргі құнын есептеу арқылы анықтауға болады. Егер нақты әлемдік ықтималдықтар қолданылса, әрбір бағалы қағазға әртүрлі түзетулер қажет болады (өйткені олардың тәуекел деңгейі әртүрлі). Арбитраждың болмауы тәуекелге бейтарап өлшемнің болуы үшін маңызды шарт. Шындығында, активтерді бағалаудың негізгі теоремасына сәйкес, арбитраждың болмауы тәуекелге бейтарап өлшемнің болуымен тең. Нарықтың толықтығы да маңызды, себебі толық емес нарықта активтің бағасы әртүрлі тәуекелге бейтарап өлшемдерге сәйкес келетін көптеген мүмкіндіктерге ие. Көбінесе нарықтың тиімділігі тек бір бағаның болуын білдіреді ("бір баға заңы"); дұрыс тәуекелге бейтарап өлшемді таңдау экономикалық, емес математикалық аргументтерге негізделуі керек. Жиі жасалатын қателік – жасалған ықтималдық таралуын нақты әлемдік ықтималдықпен шатастыру. Олар өзгеше болады, себебі нақты әлемде инвесторлар тәуекелдік үстеме кіріс талап етеді, ал тәуекелге бейтарап ықтималдықтар бойынша барлық активтердің күтілетін табысы бірдей болады, яғни тәуекелсіз ставка (немесе қысқа мерзімді ставка) және сондықтан мұндай үстеме кіріс қамтылмайды. Тәуекелге бейтарап бағалау әдісін көптеген басқа да пайдалы есептеу құралдары сияқты қарастыру керек – ыңғайлы және қуатты, тіпті көзге жасанды көрінсе де.
Prices of assets depend crucially on their risk as investors typically demand more profit for bearing more risk. Therefore, today's price of a claim on a risky amount realised tomorrow will generally differ from its expected value. Most commonly, investors are risk averse and today's price is below the expectation, remunerating those who bear the risk (at least in large financial markets; examples of risk seeking markets are casinos and lotteries). To price assets, consequently, the calculated expected values need to be adjusted for an investor's risk preferences (see also Sharpe ratio). Unfortunately, the discount rates would vary between investors and an individual's risk preference is difficult to quantify. It turns out that in a complete market with no arbitrage opportunities there is an alternative way to do this calculation: Instead of first taking the expectation and then adjusting for an investor's risk preference, one can adjust, once and for all, the probabilities of future outcomes such that they incorporate all investors' risk premia, and then take the expectation under this new probability distribution, the risk neutral measure. The main benefit stems from the fact that once the risk neutral probabilities are found, every asset can be priced by simply taking the present value of its expected payoff. Note that if we used the actual real world probabilities, every security would require a different adjustment (as they differ in riskiness). The absence of arbitrage is crucial for the existence of a risk neutral measure. In fact, by the fundamental theorem of asset pricing, the condition of no arbitrage is equivalent to the existence of a risk neutral measure. Completeness of the market is also important because in an incomplete market there are a multitude of possible prices for an asset corresponding to different risk neutral measures. It is usual to argue that market efficiency implies that there is only one price (the "law of one price"); the correct risk neutral measure to price which must be selected using economic, rather than purely mathematical, arguments. A common mistake is to confuse the constructed probability distribution with the real world probability. They will be different because in the real world, investors demand risk premia, whereas it can be shown that under the risk neutral probabilities all assets have the same expected rate of return, the risk free rate (or short rate) and thus do not incorporate any such premia. The method of risk neutral pricing should be considered as many other useful computational tools—convenient and powerful, even if seemingly artificial.
Мартингейлге тең теңестірілген өлшем
Келіңіздер, d өлшемді нарық тәуекелді активтердің баға процестерін, тәуекелсіз облигацияны және негізгі ықтималдық кеңістігін көрсетеді. Онда, өлшем эквивалентті (жергілікті) мартингель өлшемі деп аталады, егер , яғни , эквивалентті болса, процестер -ке қатысты (жергілікті) мартингельдер болады.
Let be a d dimensional market representing the price processes of the risky assets, the risk free bond and the underlying probability space. Then a measure is called an equivalent (local) martingale measure if
, i. e., is equivalent to ,
the processes are (local) martingales w. r. t. .
Тәуекелге бейтарап шара
Тәуекелге бейтарап өлшемдер туындының құнын формуламен өрнектеуді жеңілдетеді. Егер болашақта туынды (мысалы, акцияға сатып алу опциясы) бірліктерді төлесе, онда – нарықты сипаттайтын ықтималдық кеңістігіндегі кездейсоқ айнымалы болсын. Сондай-ақ, қазіргі уақыттан (нөлдік уақыттан) бастап уақытына дейінгі дисконттық фактор болсын. Онда туындының бүгінгі әділ құны:
Risk neutral measures make it easy to express the value of a derivative in a formula. Suppose at a future time a derivative (e. g., a call option on a stock) pays units, where is a random variable on the probability space describing the market. Further suppose that the discount factor from now (time zero) until time is Then today's fair value of the derivative is
мұнда теңдеуді шешетін кез келген мартингейлдік өлшем тәуекелге бейтарап өлшем болып табылады.
where any martingale measure that solves the equation is a risk neutral measure.
Тәуекелге бейтарап шараның пайда болуы
Арбитражсыз нарықта тәуекелге бейтарап өлшем қалай туындайды деген сұрақ туындайды. Бір қалпында барлық активтердің бағасы ықтималдық өлшемін анықтайды. Бір түсіндірмесі – Arrow қауіпсіздігін пайдалану. Қарапайымдық үшін, болашақ уақыт горизонті бар дискретті (тіпті шекті) әлемді қарастырайық. Яғни, қазіргі (уақыт 0) және болашақ (уақыт 1) бар, ал уақыт 1-де әлемнің жағдайы шекті сандағы жағдайлардың бірі болуы мүмкін. n жағдайына сәйкес келетін Arrow қағазы, An, уақыт 1-де n жағдайында 1 доллар, ал әлемнің басқа кез келген жағдайында 0 доллар төлейді. Енді An-нің бағасы қандай болады? Ол оң болуы керек, себебі сіз 1 доллар пайда табу мүмкіндігіне иесіз; сонымен қатар, 1 доллардан кем болуы керек, себебі бұл ең жоғары мүмкін төлем. Осылайша, әр An қағазының бағасы, An(0) деп белгілейік, 0 мен 1 арасында қатаң түрде жатады. Шындығында, барлық қағаздардың бағасының қосындысы 1 доллардың қазіргі құнына тең болуы керек, себебі әр Arrow қағазынан тұратын портфельді ұстау 1 доллардың міндетті төлемін қамтамасыз етеді. Бір билеттің барлық қатысу ақысын жеңіп алатын лотереяны қарастырайық: егер жүлде 1 доллар болса, қатысу ақысы билеттер санының 1/ бөлігін құрайды. Қарапайымдық үшін, пайыздық ставканы 0 деп есептейміз, сондықтан 1 доллардың қазіргі құны 1 доллар болады. Осылайша, An(0) ықтималдық таралу аксиомаларын қанағаттандырады. Олардың әрқайсысы теріс емес, ал олардың қосындысы 1-ге тең. Бұл тәуекелге бейтарап өлшем! Енді оның жарнамаланғандай жұмыс істейтінін көрсету қалады, яғни осы ықтималдық өлшеміне қатысты күтілетін мәндерді есептеу 0 уақытында дұрыс бағаны беруі керек. Сізде C қағазы бар делік, оның 0 уақытындағы бағасы C(0) тең. Болашақта i жағдайында оның төлемі Ci болады. Әр Ai Arrow қағазының Ci мөлшерінен тұратын P портфелін қарастырайық. Болашақта, i жағдайы қандай болса да, Ai 1 доллар төлейді, ал басқа Arrow қағаздары 0 доллар төлейді, сондықтан P Ci төлейді. Басқаша айтқанда, P портфелі болашақта не болса да C қағазының төлемін қайталайды. Арбитраж мүмкіндігінің болмауы P және C қағаздарының бағасының қазір бірдей болуын білдіреді, себебі бағадағы кез келген айырмашылық бізге ешқандай тәуекелсіз (қорта) қымбатты сатуға, арзанды сатып алуға және айырмашылықты қалтаға салуға мүмкіндік береді. Болашақта біз қорта сатылған активті қайтаруымыз керек, бірақ біз оны сатып алынған активті сату арқылы қаржыландыра аламыз, бұл бізге бастапқы пайданы қалдырады. Әрбір Arrow қағазының бағасын ықтималдық ретінде қарастыра отырып, P(0) портфелінің бағасы тәуекелге бейтарап ықтималдықтар бойынша C қағазының күтілетін мәні екенін көреміз. Егер R пайыздық ставкасы нөл болмаса, бағаны алу үшін күтілетін мәнді тиісінше дисконттауымыз керек. Атап айтқанда, әр Arrow қағазынан тұратын портфельдің қазіргі құны , сондықтан i жағдайының тәуекелге бейтарап ықтималдығы әр Arrow қағазының бағасы Ai немесе оның форвардтық бағасы есебінен есептеледі. Айта кетейік, Arrow қағаздары нарықта міндетті түрде саудалануы қажет емес. Осы жерде нарықтың толықтығы пайда болады. Толық нарықта әрбір Arrow қағазын нақты, саудаланатын активтер портфелі арқылы қайта жасай беруге болады. Жоғарыдағы аргумент әр Arrow қағазын портфель ретінде қарастыра отырып, әлі де жұмыс істейді. Black-Scholes моделі және оның жалпыламалары сияқты реалистік модельде біздің Arrow қағазымыз екі цифрлі опция сияқты болады, ол негізгі актив белгілі бір төменгі және жоғарғы шекара арасында жатқанда 1 доллар төлейді, ал басқа жағдайда 0 доллар төлейді. Мұндай опцияның бағасы нарықтың осы баға аралығында аяқталатын спот бағасының ықтималдығын көрсетеді, тәуекелдік сыйлықтарымен түзетіледі, бұл жоғарыда бір қадамдық дискретті әлем үшін есептелген ықтималдықтарға ұқсас.
It is natural to ask how a risk neutral measure arises in a market free of arbitrage. Somehow the prices of all assets will determine a probability measure. One explanation is given by utilizing the Arrow security. For simplicity, consider a discrete (even finite) world with only one future time horizon. In other words, there is the present (time 0) and the future (time 1), and at time 1 the state of the world can be one of finitely many states. An Arrow security corresponding to state n, An, is one which pays $1 at time 1 in state n and $0 in any of the other states of the world. What is the price of An now? It must be positive as there is a chance you will gain $1; it should be less than $1 as that is the maximum possible payoff. Thus the price of each An, which we denote by An(0), is strictly between 0 and 1. Actually, the sum of all the security prices must be equal to the present value of $1, because holding a portfolio consisting of each Arrow security will result in certain payoff of $1. Consider a raffle where a single ticket wins a prize of all entry fees: if the prize is $1, the entry fee will be 1/number of tickets. For simplicity, we will consider the interest rate to be 0, so that the present value of $1 is $1. Thus the An(0)s satisfy the axioms for a probability distribution. Each is non negative and their sum is 1. This is the risk neutral measure! Now it remains to show that it works as advertised, i. e. taking expected values with respect to this probability measure will give the right price at time 0. Suppose you have a security C whose price at time 0 is C(0). In the future, in a state i, its payoff will be Ci. Consider a portfolio P consisting of Ci amount of each Arrow security Ai. In the future, whatever state i occurs, then Ai pays $1 while the other Arrow securities pay $0, so P will pay Ci. In other words, the portfolio P replicates the payoff of C regardless of what happens in the future. The lack of arbitrage opportunities implies that the price of P and C must be the same now, as any difference in price means we can, without any risk, (short) sell the more expensive, buy the cheaper, and pocket the difference. In the future we will need to return the short sold asset but we can fund that exactly by selling our bought asset, leaving us with our initial profit. By regarding each Arrow security price as a probability, we see that the portfolio price P(0) is the expected value of C under the risk neutral probabilities. If the interest rate R were not zero, we would need to discount the expected value appropriately to get the price. In particular, the portfolio consisting of each Arrow security now has a present value of , so the risk neutral probability of state i becomes times the price of each Arrow security Ai, or its forward price. Note that Arrow securities do not actually need to be traded in the market. This is where market completeness comes in. In a complete market, every Arrow security can be replicated using a portfolio of real, traded assets. The argument above still works considering each Arrow security as a portfolio. In a more realistic model, such as the Black–Scholes model and its generalizations, our Arrow security would be something like a double digital option, which pays off $1 when the underlying asset lies between a lower and an upper bound, and $0 otherwise. The price of such an option then reflects the market's view of the likelihood of the spot price ending up in that price interval, adjusted by risk premia, entirely analogous to how we obtained the probabilities above for the one step discrete world.