Введение

В математических финансах, нейтральная к риску мера (также называемая равновесной мерой или эквивалентной мартингальной мерой) — это мера вероятности, при которой цена каждой акции точно равна дисконтированному математическому ожиданию цены этой акции, рассчитанному с использованием этой меры. Она широко используется при оценке финансовых деривативов благодаря фундаментальной теореме ценообразования активов, которая подразумевает, что на полном рынке цена дериватива равна дисконтированному математическому ожиданию будущей выплаты, рассчитанному с использованием единственной нейтральной к риску меры. Такая мера существует тогда и только тогда, когда рынок не допускает арбитража.

Мотивация использования нейтральных по риску мер

Цены на активы критически зависят от их риска, поскольку инвесторы, как правило, требуют большей доходности за принятие на себя большего риска. Поэтому сегодняшняя цена требования к рискованной сумме, выплачиваемой завтра, обычно будет отличаться от ее ожидаемой величины. Чаще всего инвесторы не склонны к риску, и сегодняшняя цена ниже ожидаемой, вознаграждая тех, кто несет риск (по крайней мере, на крупных финансовых рынках; примерами рынков, стремящихся к риску, являются казино и лотереи). Следовательно, для оценки активов рассчитанные ожидаемые значения необходимо корректировать с учетом склонности инвестора к риску (см. также коэффициент Шарпа). К сожалению, ставки дисконтирования будут различаться для разных инвесторов, и склонность к риску отдельного инвестора сложно оценить количественно. Оказывается, на полном рынке без арбитражных возможностей существует альтернативный способ расчета: вместо того, чтобы сначала вычислять ожидаемое значение, а затем корректировать его с учетом склонности инвестора к риску, можно один раз и навсегда скорректировать вероятности будущих исходов таким образом, чтобы они включали премии за риск всех инвесторов, а затем вычислять ожидаемое значение на основе этого нового распределения вероятностей – нейтральной к риску меры. Основное преимущество заключается в том, что как только нейтральные к риску вероятности найдены, любой актив можно оценить, просто взяв приведенную стоимость его ожидаемой выплаты. Обратите внимание, что если бы мы использовали фактические вероятности реального мира, для каждой ценной бумаги потребовалась бы своя корректировка (поскольку они различаются по степени риска). Отсутствие арбитража имеет решающее значение для существования нейтральной к риску меры. Фактически, согласно фундаментальной теореме ценообразования активов, условие отсутствия арбитража эквивалентно существованию нейтральной к риску меры. Полнота рынка также важна, поскольку на неполном рынке существует множество возможных цен на актив, соответствующих различным нейтральным к риску мерам. Обычно утверждается, что эффективность рынка подразумевает наличие только одной цены ("закон единой цены"); правильную нейтральную к риску меру для определения цены следует выбирать на основе экономических, а не чисто математических аргументов. Распространенная ошибка – путать построенное распределение вероятностей с вероятностями реального мира. Они будут различаться, потому что в реальном мире инвесторы требуют премию за риск, в то время как можно показать, что при нейтральных к риску вероятностях все активы имеют одинаковую ожидаемую доходность – безрисковую ставку (или краткосрочную ставку) и, следовательно, не включают в себя никаких премий. Метод нейтрального к риску ценообразования следует рассматривать как один из многих полезных вычислительных инструментов – удобный и мощный, даже если он кажется искусственным.

Эквивалентная мера мартингеля

Пусть $\mathbb{L}$ — d-мерный рынок, представляющий процессы цен рискованных активов, безрисковой облигации и базовое вероятностное пространство. Тогда мера $\mathbb{Q}$ называется эквивалентной (локальной) мартингельной мерой, если $\mathbb{Q} \ll \mathbb{P}$, т.е. $\mathbb{Q}$ эквивалентна $\mathbb{P}$, и процессы $S_t$ являются (локальными) мартингелами относительно $\mathbb{Q}$.

Нейтральная по риску мера

Нейтральные к риску меры позволяют легко выразить стоимость производного инструмента в виде формулы. Предположим, что в будущем производный инструмент (например, колл-опцион на акцию) выплачивает единиц, где – случайная величина в пространстве вероятностей, описывающем рынок. Далее предположим, что дисконт-фактор от текущего момента (время ноль) до момента времени равен . Тогда сегодняшняя справедливая стоимость производного инструмента равна

где любая мартингальная мера , удовлетворяющая этому уравнению, является нейтральной к риску мерой.

Источник нейтральной по риску меры

Естественно, возникает вопрос, каким образом возникает безрисковая мера на рынке, свободном от арбитража. Цены всех активов каким-то образом определяют меру вероятности. Одно из объяснений дается с использованием ценной бумаги Арроу. Для простоты рассмотрим дискретный (даже конечный) мир с единственным будущим временным горизонтом. Иными словами, существует настоящее (время 0) и будущее (время 1), и в момент времени 1 состояние мира может быть одним из конечного числа состояний. Ценная бумага Арроу, соответствующая состоянию n, An, выплачивает $1 в момент времени 1 в состоянии n и $0 во всех остальных состояниях мира. Какова текущая цена An? Она должна быть положительной, поскольку есть шанс получить $1; она должна быть меньше $1, так как это максимальная возможная выплата. Таким образом, цена каждой ценной бумаги An, которую мы обозначаем как An(0), строго находится между 0 и 1. Фактически, сумма цен всех ценных бумаг должна быть равна текущей стоимости $1, поскольку владение портфелем, состоящим из каждой ценной бумаги Арроу, гарантирует выплату в размере $1. Рассмотрим лотерею, где один билет выигрывает приз, равный сумме всех вступительных взносов: если приз составляет $1, то вступительный взнос будет равен 1/количеству билетов. Для простоты предположим, что процентная ставка равна 0, следовательно, текущая стоимость $1 равна $1. Таким образом, An(0) удовлетворяют аксиомам распределения вероятностей. Каждая из них неотрицательна, а их сумма равна 1. Это и есть безрисковая мера! Теперь необходимо показать, что она работает, как заявлено, то есть вычисление математического ожидания относительно этой меры вероятности дает правильную цену в момент времени 0. Предположим, у вас есть ценная бумага C, цена которой в момент времени 0 равна C(0). В будущем, в состоянии i, ее выплата составит Ci. Рассмотрим портфель P, состоящий из Ci единиц каждой ценной бумаги Арроу Ai. В будущем, независимо от того, какое состояние i наступит, Ai выплатит $1, а все остальные ценные бумаги Арроу выплатят $0, следовательно, P выплатит Ci. Другими словами, портфель P воспроизводит выплату ценной бумаги C независимо от будущего развития событий. Отсутствие арбитражных возможностей подразумевает, что текущие цены P и C должны быть одинаковыми, поскольку любая разница в цене означает, что мы можем, без какого-либо риска, продать более дорогую ценную бумагу в шорт, купить более дешевую и получить разницу в цене. В будущем нам потребуется вернуть проданную в шорт ценную бумагу, но мы можем профинансировать это, продав купленную ценную бумагу, оставив себе первоначальную прибыль. Рассматривая цену каждой ценной бумаги Арроу как вероятность, мы видим, что цена портфеля P(0) является математическим ожиданием C при безрисковых вероятностях. Если процентная ставка R не равна нулю, нам потребуется соответствующим образом дисконтировать математическое ожидание, чтобы получить цену. В частности, текущая стоимость портфеля, состоящего из каждой ценной бумаги Арроу, равна , следовательно, безрисковая вероятность состояния i становится раз превышающей цену каждой ценной бумаги Арроу Ai или ее форвардную цену. Важно отметить, что ценные бумаги Арроу не обязательно должны торговаться на рынке. Здесь вступает в силу понятие полноты рынка. На полном рынке каждая ценная бумага Арроу может быть воспроизведена с помощью портфеля реально торгуемых активов. Приведенный выше аргумент остается справедливым, если рассматривать каждую ценную бумагу Арроу как портфель. В более реалистичной модели, такой как модель Блэка-Шолса и ее обобщения, наша ценная бумага Арроу будет чем-то вроде двойного цифрового опциона, который выплачивает $1, когда базовая цена актива находится между нижней и верхней границами, и $0 в противном случае. Цена такого опциона отражает рыночную оценку вероятности того, что спотовая цена окажется в этом ценовом интервале, скорректированную на премии за риск, что полностью аналогично тому, как мы получили вероятности для одношагового дискретного мира.