Введение

Функция в аналитической теории чисел – модульная форма. В математике, в области аналитической теории чисел, функция Дирихле эта определяется следующим рядом Дирихле, который сходится для любого комплексного числа с действительной частью > 0:

Этот ряд Дирихле является знакопеременной суммой, соответствующей разложению в ряд Дирихле функции Римана-дзета, ζ(s), и по этой причине функция Дирихле эта также известна как знакопеременная функция дзета, также обозначаемая как ζ*(s). Имеет место следующее соотношение:

И функция Дирихле эта, и функция Римана-дзета являются частными случаями полилогарифма. В то время как разложение в ряд Дирихле для функции эта сходится только для любого комплексного числа s с действительной частью > 0, она является суммируемой по Абелю для любого комплексного числа. Это позволяет определить функцию эта как целую функцию. (Вышеуказанное соотношение и тот факт, что функция эта является целой, вместе показывают, что функция дзета является мероморфной с простым полюсом в s = 1 и, возможно, с дополнительными полюсами в других нулях множителя, хотя на самом деле эти гипотетические дополнительные полюсы не существуют.) Эквивалентно, можно начать с определения

которое также определено в области с положительной действительной частью (обозначает гамма-функцию). Это дает функцию эта как преобразование Меллина. Харди привел простое доказательство функционального уравнения для функции эта, которое имеет вид

Из этого непосредственно следует функциональное уравнение функции дзета, а также другой способ расширить определение функции эта на всю комплексную плоскость.

Нули

Нули эта-функции включают в себя все нули дзета-функции: отрицательные четные целые числа (реальные равноотстоящие простые нули); нули на критической прямой, ни один из которых не является кратным, и более 40% из которых доказаны как простые, а также гипотетические нули в критической полосе, но не на критической прямой, которые, если они существуют, должны располагаться в вершинах прямоугольников, симметричных относительно оси x и критической прямой, и кратность которых неизвестна. Кроме того, фактор добавляет бесконечное количество комплексных простых нулей, расположенных в равноотстоящих точках на прямой , где n – любое ненулевое целое число. В соответствии с гипотезой Римана, нули эта-функции будут симметрично расположены относительно действительной оси на двух параллельных прямых и на перпендикулярной полупрямой, образованной отрицательной действительной осью.

Численные алгоритмы

Большинство методов ускорения сходимости рядов, разработанных для знакочередующихся рядов, могут быть с успехом применены к вычислению эта-функции. Один из особенно простых, но эффективных методов — применение преобразования Эйлера для знакочередующихся рядов, что позволяет получить

Обратите внимание, что второе, внутреннее суммирование представляет собой прямую разность.