Кіріспе
Аналитикалық сандар теориясындағы функция – модульдік форма. Математикада, аналитикалық сандар теориясы саласында, Дирихлеттің эта функциясы келесі Дирихлет қатары арқылы анықталады, ол нақты бөлігі > 0 болатын кез келген комплекс сан үшін жақындайды:
In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0:
This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds:
Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of polylogarithm. While the Dirichlet series expansion for the eta function is convergent only for any complex number s with real part > 0, it is Abel summable for any complex number. This serves to define the eta function as an entire function. (The above relation and the facts that the eta function is entire and together show the zeta function is meromorphic with a simple pole at s = 1, and possibly additional poles at the other zeros of the factor , although in fact these hypothetical additional poles do not exist.) Equivalently, we may begin by defining
which is also defined in the region of positive real part ( represents the gamma function). This gives the eta function as a Mellin transform. Hardy gave a simple proof of the functional equation for the eta function, which is
From this, one immediately has the functional equation of the zeta function also, as well as another means to extend the definition of eta to the entire complex plane.
Бұл Дирихлет қатары Риманның зета функциясының ζ(s) Дирихлет қатары бойынша кеңеюіне сәйкес келетін алмастыратын қосынды болып табылады, және осы себепті Дирихлеттің эта функциясы сондай-ақ ζ*(s) деп белгіленетін алмастыратын зета функциясы деп те аталады. Келесі қатынас орындалады:
In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0:
This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds:
Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of polylogarithm. While the Dirichlet series expansion for the eta function is convergent only for any complex number s with real part > 0, it is Abel summable for any complex number. This serves to define the eta function as an entire function. (The above relation and the facts that the eta function is entire and together show the zeta function is meromorphic with a simple pole at s = 1, and possibly additional poles at the other zeros of the factor , although in fact these hypothetical additional poles do not exist.) Equivalently, we may begin by defining
which is also defined in the region of positive real part ( represents the gamma function). This gives the eta function as a Mellin transform. Hardy gave a simple proof of the functional equation for the eta function, which is
From this, one immediately has the functional equation of the zeta function also, as well as another means to extend the definition of eta to the entire complex plane.
Дирихлеттің эта функциясы да, Риманның зета функциясы да полилогарифмнің ерекше жағдайлары болып табылады. Эта функциясының Дирихлет қатарының кеңеюі тек s комплекс санының нақты бөлігі > 0 болғанда ғана жақындайды, бірақ ол кез келген комплекс сан үшін Абель қосындысы болып табылады. Бұл эта функциясын толық функция ретінде анықтауға мүмкіндік береді. (Жоғарыдағы қатынас және эта функциясы толық екендігі, сонымен қатар бірге алғанда, зета функциясы s = 1 нүктесінде жай полюске ие екенін, және фактордың басқа нөлдерінде қосымша полюстер болуы мүмкін екенін көрсетеді, бірақ шындығында мұндай гипотетикалық қосымша полюстер жоқ.) Балама ретінде, біз оң нақты бөлік аймағында анықталатын (гамма функциясы) арқылы анықталатын келесіні анықтаудан бастауымыз мүмкін. Бұл эта функциясын Меллин түрлендіруі ретінде береді. Харди эта функциясының функционалдық теңдеуіне қарапайым дәлел келтірді, ол мынадай:
In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0:
This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds:
Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of polylogarithm. While the Dirichlet series expansion for the eta function is convergent only for any complex number s with real part > 0, it is Abel summable for any complex number. This serves to define the eta function as an entire function. (The above relation and the facts that the eta function is entire and together show the zeta function is meromorphic with a simple pole at s = 1, and possibly additional poles at the other zeros of the factor , although in fact these hypothetical additional poles do not exist.) Equivalently, we may begin by defining
which is also defined in the region of positive real part ( represents the gamma function). This gives the eta function as a Mellin transform. Hardy gave a simple proof of the functional equation for the eta function, which is
From this, one immediately has the functional equation of the zeta function also, as well as another means to extend the definition of eta to the entire complex plane.
Осыдан бірден зета функциясының функционалдық теңдеуі де шығады, сондай-ақ этаның анықтамасын барлық комплекс жазықтыққа кеңейтудің тағы бір тәсілі де бар.
In mathematics, in the area of analytic number theory, the Dirichlet eta function is defined by the following Dirichlet series, which converges for any complex number having real part > 0:
This Dirichlet series is the alternating sum corresponding to the Dirichlet series expansion of the Riemann zeta function, ζ(s) — and for this reason the Dirichlet eta function is also known as the alternating zeta function, also denoted ζ*(s). The following relation holds:
Both Dirichlet eta function and Riemann zeta function are special cases of polylogarithm. While the Dirichlet series expansion for the eta function is convergent only for any complex number s with real part > 0, it is Abel summable for any complex number. This serves to define the eta function as an entire function. (The above relation and the facts that the eta function is entire and together show the zeta function is meromorphic with a simple pole at s = 1, and possibly additional poles at the other zeros of the factor , although in fact these hypothetical additional poles do not exist.) Equivalently, we may begin by defining
which is also defined in the region of positive real part ( represents the gamma function). This gives the eta function as a Mellin transform. Hardy gave a simple proof of the functional equation for the eta function, which is
From this, one immediately has the functional equation of the zeta function also, as well as another means to extend the definition of eta to the entire complex plane.
Нөлдер
Эта функцияның нөлдері зет функциясының барлық нөлдерін қамтиды: теріс жұп сандар (нақты, бір-бірінен тең қашықтықтағы қарапайым нөлдер); сындық сызық бойындағы нөлдер, олардың ешқайсысы көп емес екені белгісіз, ал олардың 40%-дан астамы қарапайым екені дәлелденген; және сындық жолақтағы, бірақ сындық сызықта емес, гипотетикалық нөлдер, егер олар болса, x осі мен сындық сызыққа қатысты симметриялы төртбұрыштардың төбелерінде орналасуы керек, ал олардың көптігі белгісіз. Бұған қоса, фактор n кез келген нөлдік емес бүтін сан болатын түзуде тең қашықтықта орналасқан шексіз көп күрделі қарапайым нөлдерді қосады. Риман гипотезасы бойынша, эта функцияның нөлдері екі параллель түзуде нақты оське қатысты симметриялы түрде орналасады, сондай-ақ теріс нақты ось құрайтын перпендикуляр жарты түзуде де орналасады.
Сандық алгоритмдер
Кезекті қатарлар үшін жасалған көптеген серияны жеделдету әдістерін эта функциясын есептеу үшін пайдалы қолдануға болады. Әсіресе қарапайым, бірақ орынды әдіс – ауыспалы қатарлардың Эйлер түрлендіруін қолдану, сонда екінші, ішкі қосынды алға жылға айырмашылық екенін ескеріңіз.
Note that the second, inside summation is a forward difference.