Введение

Класс математических функций

В математике эллиптические функции Вейерштрасса — это эллиптические функции, принимающие особенно простую форму. Они названы в честь Карла Вейерштрасса. Этот класс функций также называют ℘-функциями и обычно обозначают символом ℘, уникальным и изящным шрифтом p. Они играют важную роль в теории эллиптических функций, то есть мероморфных функций, являющихся двупериодическими. ℘-функция вместе со своей производной может использоваться для параметризации эллиптических кривых и порождает поле эллиптических функций относительно заданной решетки периодов. Символ функции Вейерштрасса.

Определение

Пусть $\omega_1$ и $\omega_2$ – два комплексно независимых числа над $\mathbb{R}$, и пусть $\Lambda$ – решетка периодов, порожденная этими числами. Тогда $\vartheta$-функция определяется следующим образом:

Этот ряд сходится абсолютно и локально равномерно на комплексном торе $\mathbb{C}/\Lambda$. Обычно в качестве генераторов решетки используют $\omega_1$ и $\omega_2$ в верхней полуплоскости $\mathbb{H}$. Деление на $\omega_1$ переводит решетку $\Lambda$ изоморфно на решетку $\frac{1}{\omega_1}\Lambda$ с условием $\Im(\frac{\omega_2}{\omega_1}) > 0$. Поскольку $\omega_1$ можно заменить на $\omega_2$ без потери общности, можно предположить, что $\Re(\omega_1) > 0$, и тогда определить $\tau = \frac{\omega_2}{\omega_1}$.

Типография

Эллиптическая функция Вейерштрасса обычно записывается с помощью довольно специальной строчной готической буквы ℘, которая была собственной нотацией Вейерштрасса, введенной им в его лекциях 1862–1863 годов. В вычислительной технике эта буква доступна как \wp в TeX. В Unicode её кодовая точка — , с более корректным псевдонимом 1=weierstrass elliptic function. В HTML её можно представить как ℘.