Введение

Краткий "импульс" или "огибающая" ограниченного волнового действия, распространяющаяся как единое целое. В физике волновой пакет (также известный как волновой волновой поезд или волновая группа) представляет собой короткий импульс локализованного волнового действия, распространяющийся как единое целое и ограниченный огибающей. Волновой пакет можно разложить на составляющие или синтезировать из потенциально бесконечного набора синусоидальных волн с различными волновыми числами, фазами и амплитудами, которые конструктивно интерферируют только в небольшой области пространства и деструктивно – в остальном. Любой сигнал ограниченной ширины во времени или пространстве требует множества частотных компонент вокруг центральной частоты в полосе пропускания, обратно пропорциональной этой ширине; даже гауссова функция рассматривается как волновой пакет, поскольку ее преобразование Фурье представляет собой "пакет" волн частот, сгруппированных вокруг центральной частоты. Каждая компонентная волновая функция, и, следовательно, волновой пакет, является решением волнового уравнения. В зависимости от волнового уравнения профиль волнового пакета может оставаться неизменным (без дисперсии) или изменяться (дисперсия) при распространении.

Исторический фон

Идеи, связанные с волновыми пакетами – модуляцией, несущими волнами, фазовой скоростью и групповой скоростью – восходят к середине 1800-х годов. Идея групповой скорости, отличной от фазовой скорости волны, была впервые предложена У. Р. Гамильтоном в 1839 году, а первое полное рассмотрение было сделано Рэлеем в его "Теории звука" в 1877 году. Эрвин Шрёдингер ввёл идею волновых пакетов сразу после публикации своего знаменитого волнового уравнения. Он решил это уравнение для квантового гармонического осциллятора, ввёл принцип суперпозиции и использовал его, чтобы показать, что компактное состояние может сохраняться. Хотя эта работа привела к важному понятию когерентных состояний, концепция волновых пакетов не получила дальнейшего развития. Год спустя после публикации работы Шрёдингера Вернер Гейзенберг опубликовал свою работу о принципе неопределённости, показав, что результаты Шрёдингера применимы только к квантовым гармоническим осцилляторам, а не, например, к кулоновскому потенциалу, характерному для атомов. Дарвин показал, что в момент времени *t* положение пакета, движущегося со скоростью *v*, будет равно

где *Δx* – неопределённость в начальном положении. Позже, в 1927 году, Поль Эренфест показал, что время *τ*, за которое волновой пакет вещества шириной *Δx* и массой *m* увеличится в два раза, равно Поскольку *ħ* так мал, волновые пакеты макроскопических объектов, обладающих большой шириной и массой, удваиваются лишь в космических масштабах времени. Если поместить такой пакет в состояние покоя, он останется в покое: средние значения положения и импульса будут соответствовать классической частице. Однако он будет распространяться во всех направлениях со скоростью, определяемой оптимальной неопределённостью импульса. Распространение происходит настолько быстро, что на расстоянии, равном длине окружности атома, волновой пакет становится неузнаваемым.

Волновые пакеты и квантовое рассеяние

Взаимодействие частиц в физике называется рассеянием; математика волновых пакетов играет важную роль в квантово-механических подходах к рассеянию. Монохроматический источник (с одним импульсом) вызывает трудности со сходимостью в моделях рассеяния. Задачи рассеяния также имеют классические пределы. Если размер рассеивающего объекта (например, атома) значительно меньше размера волнового пакета, то центр волнового пакета движется по классическим траекториям рассеяния. В противном случае волновой пакет искажается и рассеивается при взаимодействии с объектом.