Введение

Выражение положения точки как функции вспомогательных переменных, называемых параметрами.

В математике, и в особенности в геометрии, параметризация (или параметризация; также параметризация, параметризация) – это процесс нахождения параметрических уравнений кривой, поверхности или, в более общем случае, многообразия или алгебраического многообразия, заданного неявным уравнением. Обратный процесс называется имплицитизацией. "Параметризовать" означает "выразить в терминах параметров". Параметризация – это математический процесс, заключающийся в представлении состояния системы, процесса или модели как функции некоторых независимых величин, называемых параметрами. Состояние системы обычно определяется конечным набором координат, и параметризация, таким образом, состоит из одной функции нескольких вещественных переменных для каждой координаты. Число параметров равно числу степеней свободы системы. Например, положение точки, движущейся по кривой в трехмерном пространстве, определяется временем, необходимым для достижения этой точки, начиная от фиксированного начала координат. Если x, y, z – координаты точки, то движение описывается параметрическим уравнением, где t – параметр, обозначающий время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую, не требуя какой-либо интерпретации t как времени, и поэтому называется параметрическим уравнением кривой (иногда говорят, что задана параметрическая кривая). Аналогично, параметрическое уравнение поверхности получается, рассматривая функции двух параметров t и u.

Неоднородность

Параметризации обычно не являются единственными. Обычный трехмерный объект можно параметризовать (или "координатизировать") одинаково эффективно с помощью декартовых координат (x, y, z), цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z), сферических координат (r, φ, θ) или других систем координат. Аналогично, цветовое пространство человеческого трихроматического зрения можно параметризовать в терминах трех цветов: красный, зеленый и синий (RGB), или с использованием циана, мадженты, желтого и черного (CMYK).

Размерность

Как правило, минимальное количество параметров, необходимое для описания модели или геометрического объекта, равно его размерности, а множество возможных значений параметров в пределах допустимых диапазонов – это пространство параметров. Хотя хороший набор параметров позволяет однозначно определить каждую точку в пространстве объекта, для данной параметризации разные значения параметров могут соответствовать одной и той же точке. Такие отображения являются сюръективными, но не инъективными. Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z) и (ρ, φ + 2π, z).

Неизменность

Как указано выше, существует произвольность в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т. д. Часто желательно определить внутренние свойства объекта, которые не зависят от этой произвольности, и, следовательно, не зависят от какого-либо конкретного выбора параметров. Это особенно актуально в физике, где инвариантность параметризации (или "репараметризационная инвариантность") является основополагающим принципом в поиске физически приемлемых теорий (в особенности в общей теории относительности). Например, хотя положение фиксированной точки на некоторой кривой может быть задано набором чисел, значения которых зависят от способа параметризации кривой, длина (при соответствующем определении) кривой между двумя такими фиксированными точками будет независима от конкретного выбора параметризации (в данном случае: от метода однозначной индексации произвольной точки на кривой). Таким образом, длина кривой является инвариантной относительно параметризации величиной. В таких случаях параметризация представляет собой математический инструмент, используемый для получения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации или не ссылается на них. В более общем смысле, инвариантность физической теории относительно параметризации подразумевает, что размерность или объем параметрического пространства больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (физически значимых величин). Хотя теорию общей относительности можно сформулировать без обращения к системе координат, вычисление физических (т. е. наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространства-времени, неизбежно включает введение конкретной системы координат для указания точек пространства-времени, участвующих в вычислении. В контексте общей теории относительности выбор системы координат можно рассматривать как способ "параметризации" пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору – как пример инвариантности относительно параметризации. В качестве другого примера, физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительных расстояний (отношения расстояний) между парами объектов, называют масштабно-инвариантными. В таких теориях любое обращение в ходе вычисления к абсолютному расстоянию подразумевает введение параметра, относительно которого теория является инвариантной.