Торальф Сколем: Жизнь и вклад норвежского математика

Введение

Норвежский математик Торальф Альберт Сколем (23 мая 1887 – 23 марта 1963) — норвежский математик, работавший в области математической логики и теории множеств.

Жизнь

Хотя отец Сколема был учителем начальной школы, большинство его родственников занимались сельским хозяйством. Сколем учился в средней школе в Кристиании (позже переименованной в Осло), сдав университетские вступительные экзамены в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet для изучения математики, а также посещал курсы по физике, химии, зоологии и ботанике. В 1909 году он начал работать ассистентом физика Кристиана Биркеланда, известного бомбардировкой намагниченных сфер электронами и получением эффектов, подобных полярному сиянию; таким образом, первыми публикациями Сколема были статьи по физике, написанные совместно с Биркеландом. В 1913 году Сколем с отличием сдал государственные экзамены и защитил диссертацию под названием «Исследования по алгебре логики». Он также вместе с Биркеландом отправился в Судан для наблюдения за зодиакальным светом. Зимний семестр 1915 года он провёл в Геттингенском университете, который в то время являлся ведущим исследовательским центром в области математической логики, метаматематики и абстрактной алгебры, в которых Сколем впоследствии достиг больших успехов. В 1916 году он был назначен научным сотрудником в Det Kongelige Frederiks Universitet. В 1918 году он стал доцентом по математике и был избран членом Норвежской академии наук и литературы. Поначалу Сколем не оформлялся в качестве соискателя учёной степени доктора философии, полагая, что она не нужна в Норвегии. Позже он передумал и в 1926 году представил диссертацию под названием «Некоторые теоремы об интегральных решениях определённых алгебраических уравнений и неравенств». Его научным руководителем диссертации был Аксель Туэ, хотя Туэ умер в 1922 году. В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмине Хасвольд. Сколем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованном в Университет Осло в 1939 году) до 1930 года, когда стал научным сотрудником в Chr. Микельсенов институте в Бергене. Эта должность позволяла Сколему заниматься исследованиями, освобождённым от административных и преподавательских обязанностей. Однако она также требовала проживания в Бергене, городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, исследовательской библиотеки, что не позволяло ему быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он читал курсы для аспирантов по алгебре и теории чисел, и лишь изредка по математической логике. Докторантом Сколема был Эйстейн Оре, который впоследствии сделал карьеру в США. Сколем был президентом Норвежского математического общества и в течение многих лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift («Норвежский математический журнал»). Он также был главным редателем Mathematica Scandinavica. После выхода на пенсию в 1957 году он несколько раз посетил Соединённые Штаты, где выступал с лекциями и преподавал в университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти. Более подробную информацию об академической жизни Сколема можно найти в работе Фенстада (1970).

Although Skolem's father was a primary school teacher, most of his extended family were farmers. Skolem attended secondary school in Kristiania (later renamed Oslo), passing the university entrance examinations in 1905. He then entered Det Kongelige Frederiks Universitet to study mathematics, also taking courses in physics, chemistry, zoology and botany. In 1909, he began working as an assistant to the physicist Kristian Birkeland, known for bombarding magnetized spheres with electrons and obtaining aurora like effects; thus Skolem's first publications were physics papers written jointly with Birkeland. In 1913, Skolem passed the state examinations with distinction, and completed a dissertation titled Investigations on the Algebra of Logic. He also traveled with Birkeland to the Sudan to observe the zodiacal light. He spent the winter semester of 1915 at the University of Göttingen, at the time the leading research center in mathematical logic, metamathematics, and abstract algebra, fields in which Skolem eventually excelled. In 1916 he was appointed a research fellow at Det Kongelige Frederiks Universitet. In 1918, he became a Docent in Mathematics and was elected to the Norwegian Academy of Science and Letters. Skolem did not at first formally enroll as a Ph. D. candidate, believing that the Ph. D. was unnecessary in Norway. He later changed his mind and submitted a thesis in 1926, titled Some theorems about integral solutions to certain algebraic equations and inequalities. His notional thesis advisor was Axel Thue, even though Thue had died in 1922. In 1927, he married Edith Wilhelmine Hasvold. Skolem continued to teach at Det kongelige Frederiks Universitet (renamed the University of Oslo in 1939) until 1930 when he became a Research Associate in Chr. Michelsen Institute in Bergen. This senior post allowed Skolem to conduct research free of administrative and teaching duties. However, the position also required that he reside in Bergen, a city which then lacked a university and hence had no research library, so that he was unable to keep abreast of the mathematical literature. In 1938, he returned to Oslo to assume the Professorship of Mathematics at the university. There he taught the graduate courses in algebra and number theory, and only occasionally on mathematical logic. Skolem's Ph. D. student Øystein Ore went on to a career in the USA. Skolem served as president of the Norwegian Mathematical Society, and edited the Norsk Matematisk Tidsskrift ("The Norwegian Mathematical Journal") for many years. He was also the founding editor of Mathematica Scandinavica. After his 1957 retirement, he made several trips to the United States, speaking and teaching at universities there. He remained intellectually active until his sudden and unexpected death. For more on Skolem's academic life, see Fenstad (1970).

Математика

Сколем опубликовал около 180 работ по диофантовым уравнениям, теории групп, теории решёток и, прежде всего, теории множеств и математической логике. Он в основном публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным распространением, поэтому его результаты иногда заново открывались другими исследователями. Примером является теорема Сколема — Нётер, характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Сколем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер независимо заново открыла его спустя несколько лет. Сколем был одним из первых, кто писал о решётках. В 1912 году он первым описал свободную дистрибутивную решётку, порождённую n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решётка (теперь также называемая решёткой Сколема) является дистрибутивной и, как частичное обратное утверждение, что каждая конечная дистрибутивная решётка является импликативной. После того как эти результаты были заново открыты другими, Сколем опубликовал в 1936 году статью на немецком языке "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", в которой рассматривал свою более раннюю работу по теории решёток. Сколем был пионером в теории моделей. В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы Леопольда Лёвенхайма, впервые доказанной в 1915 году, что привело к теореме Лёвенхайма — Сколема, которая утверждает, что если счётная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет счётную модель. В его доказательстве 1920 года использовалась аксиома выбора, но позже (1922 и 1928 гг.) он приводил доказательства, используя лемму Кёнига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Сколем, как и Лёвенхайм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих коллег-пионеров теоретиков моделей Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шрёдера, включая Π, Σ в качестве кванторов, связывающих переменные, в отличие от обозначений Пеано, Principia Mathematica и Principles of Mathematical Logic. Сколем (1934) стал пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств. Сколем (1922) уточнил аксиомы Цермело для теории множеств, заменив расплывчатое понятие Цермело об "определённом" свойстве любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка. Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Сколем также указал, что следствием теоремы Лёвенхайма — Сколема является то, что теперь известно как парадокс Сколема: если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счётной области, даже если они доказывают существование несчётных множеств.

Skolem published around 180 papers on Diophantine equations, group theory, lattice theory, and most of all, set theory and mathematical logic. He mostly published in Norwegian journals with limited international circulation, so that his results were occasionally rediscovered by others. An example is the Skolem–Noether theorem, characterizing the automorphisms of simple algebras. Skolem published a proof in 1927, but Emmy Noether independently rediscovered it a few years later. Skolem was among the first to write on lattices. In 1912, he was the first to describe a free distributive lattice generated by n elements. In 1919, he showed that every implicative lattice (now also called a Skolem lattice) is distributive and, as a partial converse, that every finite distributive lattice is implicative. After these results were rediscovered by others, Skolem published a 1936 paper in German, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", surveying his earlier work in lattice theory. Skolem was a pioneer model theorist. In 1920, he greatly simplified the proof of a theorem Leopold Löwenheim first proved in 1915, resulting in the Löwenheim–Skolem theorem, which states that if a countable first order theory has an infinite model, then it has a countable model. His 1920 proof employed the axiom of choice, but he later (1922 and 1928) gave proofs using Kőnig's lemma in place of that axiom. It is notable that Skolem, like Löwenheim, wrote on mathematical logic and set theory employing the notation of his fellow pioneering model theorists Charles Sanders Peirce and Ernst Schröder, including Π, Σ as variable binding quantifiers, in contrast to the notations of Peano, Principia Mathematica, and Principles of Mathematical Logic. Skolem (1934) pioneered the construction of non standard models of arithmetic and set theory. Skolem (1922) refined Zermelo's axioms for set theory by replacing Zermelo's vague notion of a "definite" property with any property that can be coded in first order logic. The resulting axiom is now part of the standard axioms of set theory. Skolem also pointed out that a consequence of the Löwenheim–Skolem theorem is what is now known as Skolem's paradox: If Zermelo's axioms are consistent, then they must be satisfiable within a countable domain, even though they prove the existence of uncountable sets.

Первичный

Сколем, Т. А., 1970. Избранные работы по логике, Фенстад, Й. Е., ред. Осло: Scandinavian University Books. Содержит 22 статьи на немецком языке, 26 на английском языке, 2 на французском языке, 1 английский перевод статьи, первоначально опубликованной на норвежском языке, и полный библиографический указатель.

Писания в английском переводе

Жан ван Хейенорт, 1967. От Фреге до Гёделя: Источник по математической логике, 1879–1931. Издательство Гарвардского университета. 1920. «Логико-комбинаторные исследования об удовлетворимости или доказуемости математических утверждений: упрощенное доказательство теоремы Лёвенгейма», 252–263. 1922. «Некоторые замечания об аксиоматической теории множеств», 290–301. 1923. «Основания элементарной арифметики», 302–33. 1928. «О математической логике», 508–524.

Вторичный

Брэди, Джеральдин, 2000. От Пирса к Сколему. Северная Голландия. Фенстад, Йенс Эрик, 1970, "Торальф Альберт Сколем в памяти" в Сколем (1970: 9–16). Хао Ванг, 1970, "Обзор работ Сколема в области логики" в Сколем (1970: 17–52).