Введение
Компактный оператор, для которого можно определить конечный след. В математике, в частности в функциональном анализе, оператор класса следа — это линейный оператор, для которого определен след, являющийся конечным числом, не зависящим от выбора базиса, используемого для его вычисления. Этот след операторов класса следа обобщает понятие следа матрицы, изучаемое в линейной алгебре. Все операторы класса следа являются компактными операторами. В квантовой механике смешанные состояния описываются матрицами плотности, которые являются операторами класса следа. Операторы класса следа по существу совпадают с ядерными операторами, хотя многие авторы резервируют термин "оператор класса следа" для частного случая ядерных операторов на гильбертовых пространствах и используют термин "ядерный оператор" в более общих топологических векторных пространствах (таких как пространства Банаха). Следует отметить, что оператор следа, изучаемый в уравнениях в частных производных, является несвязанным понятием.
In mathematics, specifically functional analysis, a trace class operator is a linear operator for which a trace may be defined, such that the trace is a finite number independent of the choice of basis used to compute the trace. This trace of trace class operators generalizes the trace of matrices studied in linear algebra. All trace class operators are compact operators. In quantum mechanics, mixed states are described by density matrices, which are certain trace class operators. Trace class operators are essentially the same as nuclear operators, though many authors reserve the term "trace class operator" for the special case of nuclear operators on Hilbert spaces and use the term "nuclear operator" in more general topological vector spaces (such as Banach spaces). Note that the trace operator studied in partial differential equations is an unrelated concept.
Спектральная теорема
Пусть $\mathcal{A}$ будет ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве. Тогда $\mathcal{A}$ принадлежит классу следов, если и только если $\mathcal{A}$ имеет чистый точечный спектр с собственными значениями $\lambda_n$, такими что
Теорема Мерсера
Теорема Мерсера предоставляет еще один пример оператора класса следа. А именно, пусть является непрерывным симметричным положительно определенным ядром на , заданным как
тогда соответствующий интегральный оператор Гильберта — Шмидта является оператором класса следа, то есть,
Как предварительная оценка ограниченных операторов
Напомним, что двойственным к пространству является пространство . В данном контексте двойственным к операторам трассового класса являются ограниченные операторы. Более точно, множество является двусторонним идеалом в . Таким образом, для любого оператора можно определить непрерывный линейный функционал на , заданный выражением . Это соответствие между ограниченными линейными операторами и элементами двойственного пространства является изометрическим изоморфизмом. Следовательно, является двойственным пространством к . Это можно использовать для определения слабой * топологии на .