Введение

Суръективный ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, сохраняющий внутреннее произведение. В функциональном анализе, унитарный оператор — это суръективный ограниченный оператор на гильбертовом пространстве, сохраняющий внутреннее произведение. Унитарные операторы обычно рассматриваются как действующие на гильбертовом пространстве, но то же понятие используется для определения концепции изоморфизма между гильбертовыми пространствами.

Примеры

Функция идентичности является тривиальным унитарным оператором. Ротации в R² являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Ротации не изменяют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до R³. На векторном пространстве C комплексных чисел умножение на число с абсолютным значением 1, то есть число вида e^(iθ) для θ ∈ R, является унитарным оператором. θ называется фазой, и это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение θ по модулю 2π не влияет на результат умножения, и поэтому независимые унитарные операторы на C параметризуются окружностью. Соответствующая группа, которая как множество является окружностью, называется U(1). В более общем случае, унитарные матрицы являются точно унитарными операторами на конечномерных гильбертовых пространствах, поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы — это частный случай унитарных матриц, в которых все элементы вещественные. Они являются унитарными операторами на Rⁿ. Двусторонний сдвиг на последовательном пространстве ℓ² с индексацией целыми числами является унитарным. В общем случае, любой оператор в гильбертовом пространстве, действующий перестановкой ортонормального базиса, является унитарным. В конечномерном случае такие операторы являются матрицами перестановок. Односторонний сдвиг (правый сдвиг) является изометрией; его сопряженный (левый сдвиг) является коизометрией. Оператор Фурье является унитарным оператором, то есть оператором, выполняющим преобразование Фурье (с правильной нормализацией). Это следует из теоремы Парсеваля. Унитарные операторы используются в унитарных представлениях. Квантовые логические вентили — это унитарные операторы. Не все вентили эрмитовы. Унитарный элемент — это обобщение унитарного оператора. В унитальной алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если U*U = I, где I — элемент умножительной идентичности.

Свойства

Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. То есть, для любого комплексного числа λ, принадлежащего спектру, выполняется . Это можно увидеть как следствие спектральной теоремы для нормальных операторов. Согласно теореме, U унитарно эквивалентен умножению на борелевскую измеримую функцию f на L^(2)(μ) для некоторого пространства с конечной мерой (X, μ). Тогда влечет , почти всюду по μ. Это показывает, что существенный диапазон f, а следовательно, и спектр U, лежит на единичной окружности. Линейное отображение является унитарным, если оно сюръективно и изометрично. (Используйте формулу поляризации, чтобы доказать обратную часть.)