Введение

В функциональном анализе состояние операторной системы — это положительный линейный функционал с нормой 1. Состояния в функциональном анализе обобщают понятие матриц плотности в квантовой механике, которые описывают квантовые состояния, как смешанные, так и чистые. Матрицы плотности, в свою очередь, обобщают векторы состояния, которые описывают только чистые состояния. Для операторной системы M в C*-алгебре A с единицей, множество всех состояний M, иногда обозначаемое S(M), является выпуклым и слабо-* замкнутым в двойственном пространстве Банаха M*. Следовательно, множество всех состояний M с наделённой слабой-* топологией образует компактное хаусдорфово пространство, известное как пространство состояний M. В C*-алгебраической формулировке квантовой механики состояния в указанном выше смысле соответствуют физическим состояниям, то есть отображениям из физических наблюдаемых (самосопряжённых элементов C*-алгебры) в ожидаемые результаты измерений (действительные числа).

Распад Иордании

Состояния можно рассматривать как некомутативные обобщения мер вероятности. По теореме Гельфанда, каждая коммутативная C*-алгебра A имеет вид C₀(X) для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства X. В этом случае S(A) состоит из положительных мер Радона на X, а чистые состояния — это функционалы оценки на X. В более общем случае, конструкция GNS показывает, что каждое состояние, после выбора подходящего представления, является векторным состоянием. Ограниченный линейный функционал на C*-алгебре A называется эрмитовым, если он принимает вещественные значения на эрмитовых элементах A. Эрмитовы функционалы являются некомутативными аналогами мер со знаком. Разложение Джордана в теории меры утверждает, что любую меру со знаком можно представить как разность двух положительных мер, носители которых не пересекаются. Это можно обобщить на некомутативный случай. Из вышеуказанного разложения следует, что A* является линейной оболочкой состояний.

Чистые состояния

По теореме Крейна — Мильмана, пространство состояний M имеет крайние точки. Крайние точки пространства состояний называются чистыми состояниями, а остальные состояния — смешанными.

Векторные состояния

Для гильбертова пространства H и вектора x из H, уравнение ωx(T) := ⟨Tx, x⟩ (для T из B(H)) определяет положительный линейный функционал на B(H). Поскольку ωx(1) = ||x||², ωx является состоянием, если ||x|| = 1. Если A – C*-подалгебра B(H), а M – операторная система в A, то ограничение ωx на M определяет положительный линейный функционал на M. Состояния M, возникающие таким образом из единичных векторов в H, называются векторными состояниями M.

Верные государства

Состояние считается корректным, если оно инъективно на множестве положительных элементов, то есть, если то .

Нормальные состояния

Состояние называется нормальным, если для любой монотонной, возрастающей сети операторов с супремумом, сходится к .

Факториальные состояния

Факториальное состояние C*-алгебры A — это состояние, для которого коммутант соответствующего GNS-представления A является фактором.