Введение
Слабая топология на функциональных пространствах
In functional analysis, the weak operator topology, often abbreviated WOT, is the weakest topology on the set of bounded operators on a Hilbert space , such that the functional sending an operator to the complex number is continuous for any vectors and in the Hilbert space. Explicitly, for an operator there is base of neighborhoods of the following type: choose a finite number of vectors , continuous functionals , and positive real constants indexed by the same finite set An operator lies in the neighborhood if and only if for all
Equivalently, a net of bounded operators converges to in WOT if for all and , the net converges to .
В функциональном анализе слабая операторская топология, часто сокращаемая как WOT, — это слабейшая топология на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, такая, что функционал, отображающий оператор в комплексное число, непрерывен для любых векторов и в этом гильбертовом пространстве. Явно, для оператора существует база окрестностей следующего типа: выбирается конечное число векторов , непрерывных функционалов и положительных вещественных констант , индексированных одним и тем же конечным множеством. Оператор принадлежит этой окрестности тогда и только тогда, когда для всех .
In functional analysis, the weak operator topology, often abbreviated WOT, is the weakest topology on the set of bounded operators on a Hilbert space , such that the functional sending an operator to the complex number is continuous for any vectors and in the Hilbert space. Explicitly, for an operator there is base of neighborhoods of the following type: choose a finite number of vectors , continuous functionals , and positive real constants indexed by the same finite set An operator lies in the neighborhood if and only if for all
Equivalently, a net of bounded operators converges to in WOT if for all and , the net converges to .
Эквивалентно, сеть ограниченных операторов сходится к в WOT, если для всех и , сеть сходится к .
In functional analysis, the weak operator topology, often abbreviated WOT, is the weakest topology on the set of bounded operators on a Hilbert space , such that the functional sending an operator to the complex number is continuous for any vectors and in the Hilbert space. Explicitly, for an operator there is base of neighborhoods of the following type: choose a finite number of vectors , continuous functionals , and positive real constants indexed by the same finite set An operator lies in the neighborhood if and only if for all
Equivalently, a net of bounded operators converges to in WOT if for all and , the net converges to .
Отношения с другими топологиями на B ((H)
WOT является самой слабой из всех обычных топологий на пространстве ограниченных операторов на гильбертовом пространстве.
Сильная топология оператора
Сильная топология оператора, или SOT, — это топология поточечной сходимости. Поскольку внутреннее произведение является непрерывной функцией, SOT сильнее, чем WOT. Следующий пример показывает, что это включение является строгим. Пусть и рассмотрим последовательность правых сдвигов. Применение неравенства Коши — Буняковского — Шварца показывает, что в WOT. Но очевидно, что не сходится к в SOT. Линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывные в сильной топологии оператора, являются точно теми, которые непрерывны в WOT (фактически, WOT — это самая слабая топология операторов, сохраняющая непрерывность всех сильно непрерывных линейных функционалов на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H). В силу этого факта, замыкание выпуклого множества операторов в WOT совпадает с замыканием этого множества в SOT. Из тождества поляризации следует, что сеть сходится к в SOT тогда и только тогда, когда в WOT.
Другие свойства
Присоединенная операция T → T*, как непосредственное следствие ее определения, непрерывна в WOT. Умножение не является совместно непрерывным в WOT: снова рассмотрим односторонний сдвиг. Обращаясь к неравенству Коши — Буняковского — Шварца, получаем, что как Tn, так и T*n сходятся к 0 в WOT. Однако T*nTn является тождественным оператором для всех (поскольку WOT совпадает со слабой σ-топологией на ограниченных множествах, умножение не является совместно непрерывным в слабой σ-топологии). Тем не менее, можно сделать более слабое утверждение: умножение является раздельно непрерывным в WOT. Если сеть Ti → T в WOT, то STi → ST и TiS → TS в WOT.