Введение
Статистический феномен и парадокс
Феномен Уилла Роджерса, также редко называемый парадоксом Оки, возникает, когда перемещение элемента из одной группы в другую повышает среднее значение обеих групп. Название происходит от шутки комика Уилла Роджерса 1930-х годов о миграции во время Великой депрессии: когда жители Оклахомы (Оки) покинули Оклахому и переехали в Калифорнию, они повысили средний уровень интеллекта в обоих штатах. Роджерс хотел лишь сказать, что, по его мнению, группа жителей Оклахомы со средним уровнем интеллекта ниже среднего по всей Оклахоме может быть умнее, чем средний житель Калифорнии. Кажущийся парадокс возникает из-за повышения интеллекта в обеих группах, что создает впечатление, будто интеллект был "создан". Однако в целом средний уровень интеллекта популяции остается прежним: перемещение человека из группы с низким уровнем интеллекта в группу с высоким уровнем интеллекта увеличивает размер группы с высоким уровнем интеллекта, поэтому среднее значение для всей популяции (которое является взвешенным средним интеллекта двух групп) не изменяется.
The Will Rogers phenomenon, also rarely called the Okie paradox, is when moving an observation from one group to another increases the average of both groups. It is named after a joke by the comedian Will Rogers in the 1930s about migration during the Great Depression:
When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states. All Rogers was attempting to say was that, in his view, a group of Okies whose mean intelligence is lower than the average of all Okies may be smarter than the average Californian. The apparent paradox comes from the rise in intelligence of both groups, which makes it seem as though intelligence has been "created." However, the overall population maintains the same average intelligence: moving a person from a low intelligence group to a high intelligence group makes the high intelligence group larger, so the population mean (which is a weighted average of the two groups' intelligence) is unaffected.
Численные примеры
Рассмотрим следующие множества R и S, средние арифметические которых равны 2,5 и 7 соответственно. Если 5 переместить из S в R, то среднее арифметическое R увеличится до 3, а среднее арифметическое S увеличится до 7,5, хотя общий набор чисел и, следовательно, их общее среднее значение, не изменились. Рассмотрим этот более показательный пример, где средние арифметические множеств R и S равны 1,5 и 10033 соответственно:
Если 99 переместить из S в R, то средние арифметические увеличатся до 34 и 15000. Число 99 на несколько порядков величины больше 1 и 2, и на несколько порядков величины меньше 10000 и 20000. Перемещаемый элемент не обязательно должен быть наименьшим или наибольшим в своем множестве; ему достаточно иметь значение, лежащее между средними значениями двух множеств. При этом сами множества могут иметь перекрывающиеся диапазоны. Рассмотрим следующий пример:
Если 10, которое больше среднего значения R (7) и меньше среднего значения S (12), переместить из S в R, то средние арифметические все равно немного увеличатся до 7,375 и 12,333.
Этапная миграция
Один реальный пример этого явления можно увидеть в медицинской концепции миграции стадий рака, которая привела к тому, что клиницист Альван Файнштейн в 1985 году ввел термин «феномен Уилла Роджерса», основываясь на замечании друга, который приписывал эту фразу Роджерсу. При миграции стадий в медицине улучшение выявления заболеваний приводит к перемещению людей из группы здоровых в группу больных. Поскольку эти люди на самом деле не являются здоровыми – их лишь ошибочно классифицировали как здоровых из-за несовершенства ранней диагностики – исключение их из группы здоровых увеличивает среднюю продолжительность жизни здоровой группы. Аналогично, люди, перешедшие в группу больных, здоровее тех, кто уже находился в ней: их заболевание было настолько незначительным, что могло быть обнаружено только более новым и чувствительным тестом. Добавление их в группу больных также увеличивает среднюю продолжительность жизни этой группы. Таким образом, оба показателя продолжительности жизни статистически увеличиваются, даже если раннее выявление рака не приводит к улучшению лечения: поскольку оно выявляется раньше, больше времени жизни проводится в группе «больных». В этом виде парадокс можно рассматривать как пример логической ошибки двусмысленности. Двусмысленность возникает, когда один и тот же термин используется в разных значениях, чтобы ввести слушателя в заблуждение и подвести к необоснованным сравнениям. Статистика продолжительности жизни до и после миграции стадий использует разные значения слова «больной», поскольку критерий для выявления заболевания изменился.