Введение

Абелева группа, в которой каждый элемент в некотором смысле делится на положительные целые числа. В математике, в частности в теории групп, делимая группа — это абелева группа, в которой каждый элемент в некотором смысле делится на положительные целые числа, или, точнее, каждый элемент является n-кратным для любого положительного целого числа n. Делимые группы важны для понимания структуры абелевых групп, особенно поскольку они являются инъективными абелевыми группами.

Определение

Абелева группа делима, если для каждого положительного целого числа *n* и для каждого элемента *x*, существует элемент *y* такой, что *nx* = *y*. Эквивалентное условие: для любого положительного целого числа *n* и любого элемента *x*, существует элемент *y* такой, что *x* = *ny*, поскольку существование элемента *y* для каждого *n* и *x* подразумевает, что *x* = *ny*, и обратное утверждение верно для каждой группы. Третье равноценное условие состоит в том, что абелева группа делима тогда и только тогда, когда она является инъективным объектом в категории абелевых групп; по этой причине делимую группу иногда называют инъективной группой. Абелева группа делима по простому числу *p*, если для каждого элемента *x*, существует элемент *y* такой, что *px* = *y*. Эквивалентно, абелева группа делима по простому числу *p* тогда и только тогда, когда *p*x = 0 для любого *x*, кратного *p*.

Примеры

Рациональные числа образуют делящуюся группу относительно сложения. В более общем случае, основная аддитивная группа любого векторного пространства над делится. Любая фактор-группа делящейся группы является делящейся. Следовательно, делится. p-первичная компонента , изоморфная p-квазициклической группе , является делящейся. Мультипликативная группа комплексных чисел делима. Каждая экзистенциально замкнутая абелева группа (в смысле теории моделей) делима.

Свойства

Если делимая группа является подгруппой абелевой группы, то она является прямым слагаемым этой абелевой группы. Каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу. Нетривиальные делимые группы не являются конечно порожденными. Более того, каждая абелева группа может быть вложена в делимую группу как существенная подгруппа единственным образом. Абелева группа делима тогда и только тогда, когда она p-делима для каждого простого числа p. Пусть R – кольцо. Если G – делимая группа, то G инъективна в категории R-модулей.

Конверт для инъекций

Как указано выше, любая абелева группа A может быть единственным образом вложена в делимую группу D как существенная подгруппа. Эта делимая группа D является инъективной оболочкой для A, и это понятие соответствует инъективному корпусу в категории абелевых групп.

Сниженные абелевы группы

Абелева группа называется редуцированной, если её единственная делимая подгруппа — {0}. Каждая абелева группа является прямой суммой делимой подгруппы и редуцированной подгруппы. Фактически, для любой группы существует единственная наибольшая делимая подгруппа, и эта делимая подгруппа является прямым слагаемым. Это особенность наследственных колец, таких как кольцо целых чисел Z: прямая сумма инъективных модулей инъективна, поскольку кольцо ноэтерианское, а фактормодули инъективных модулей инъективны, поскольку кольцо наследственное, следовательно, любой подмодуль, порожденный инъективными модулями, является инъективным. Обратное также верно: если каждый модуль имеет единственный максимальный инъективный подмодуль, то кольцо является наследственным. Полная классификация счетных редуцированных периодических абелевых групп дается теоремой Ульма.

Обобщение

Несколько различных определений обобщают делимые группы до делимых модулей. Следующие определения использовались в литературе для определения делимого модуля M над кольцом R: rM = M для всех ненулевых r из R. (Иногда требуется, чтобы r не был делителем нуля, а некоторые авторы требуют, чтобы R был областью целостности.) Для каждого главного левого идеала Ra любой гомоморфизм из Ra в M расширяется до гомоморфизма из R в M. (Этот тип делимого модуля также называется принципиально инъективным модулем.) Для каждого конечно порожденного левого идеала L кольца R любой гомоморфизм из L в M расширяется до гомоморфизма из R в M. Два последних условия являются "ограниченными версиями" критерия Баэра для инъективных модулей. Поскольку инъективные левые модули расширяют гомоморфизмы из всех левых идеалов в R, инъективные модули очевидно делимы в смысле 2 и 3. Если R дополнительно является областью целостности, то все три определения совпадают. Если R является главным левым идеальным доменом, то делимые модули совпадают с инъективными модулями. Таким образом, в случае кольца целых чисел Z, которое является главным идеальным доменом, Z-модуль (который является точно абелевой группой) делим тогда и только тогда, когда он инъективен. Если R является коммутативной областью целостности, то инъективные R-модули совпадают с делимыми R-модулями тогда и только тогда, когда R является областью Дедекинда.